1673向量组的线性相关性

1673向量组的线性相关性内容摘要：

2 4 2 0 ,2 0 ,3 5 4 0 ,40x x xx x xx x xx x x          首页 上页 下页 返回 结束 18 因 r = 2 3 (未知量个数 ), 故方程组有非零解 , 从而 1 , 2 , 3 线性相关 . 2 4 21 2 13 5 41 4 1A  0 4 40 2 20 7 71 4 11 4 10 1 10 0 00 0 0系数矩阵 首页 上页 下页 返回 结束 19 由上述两个例子，可以得到用定义判别向量组 i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 的线性相关性的方法是： 设有 s 个数 x1 , x2 , … , xs , 使 x11 + x22 + ... + xss = 0 . 该向量方程所对应的线性方程组为 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,0,ssssn n sn sa x a x a xa x a x a xa x a x a x          首页 上页 下页 返回 结束 20 若线性方程组 有非零解，则向量组 1 , 2 , … , s 线性相关； 若它只有零解，则向量组 1 , 2 , … , s 线性无关 . 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,0,ssssn n sn sa x a x a xa x a x a xa x a x a x           于是判断 1 , 2 , … , s 线性相关性问题 转化为 判断相应的方程组有无非零解问题 . 首页 上页 下页 返回 结束 21 12( 1 , 0 , 0 , , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 , , 0 ) , ( 1 , 1 , 14, , 1 )nn 维 向 量 组是 线 性 例无 关 的 .即有 1220,0,0,nnnx x xxxx      因系数行列式 1 1 10 1 1100 0 1方程组有唯一零解 , 12, , , n  故 线 性 无 关 .首页 上页 下页 返回 结束 1 1 2 2 0nnx x x     证 设 22 思考题 :下列论断哪些是对的 ,哪些是错的 .如果是对的 ,请证明。 如果是错的 ,请举出反例 . 121 1 2 2121. 0 ,0, , ,rrrrk k kk k k          如 果 当 时那 么 线 性 无 关 . 1 2 1 12 1 2 12 . , , , , , , , , , , , .rrr r r         如 果 线 性 无 关 而 不 能 由线 性 表 出 那 么 线 性 无 关 123 . , , , ,.r  如 果 线 性 无 关 那 么 其 中 每 一 个向 量 都 不 是 其 余 向 量 的 线 性 组 合首页 上页 下页 返回 结束 23 例 5 设向量组 i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 线性无关 , 那么在每一个向量上添一个分量所得到 的 n + 1 维的向量组 i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 也线性无关 . i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 证 因为向量组 线性无关，所以它对应的线性方程组 首页 上页 下页 返回 结束 24 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,( 1 )0,ssssn n s n sa x a x a xa x a x a xa x a x a x          只有零解 . 要证向量组 i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 线性无关，只需证明它对应的线性方程组 首页 上页 下页 返回 结束 25 只有零解 . 因为方程组 (2) 中的前 s 个方程即为方程组 (1) , 所以方程组 (2) 的解全是方程组 (1) 的解， (1) 只有零解 , 因而方程组 (。