16733n阶行列式

16733n阶行列式内容摘要：

D与 D均有 n!项 , ∴ D与 D是相同项 (符号也相同 )的代数和 . 即 D=D.  1212, , . . . , nk k n ka a a12( ... )( 1) nk k k167。 n 阶行列式 命题 交换一个行列式的两行 (或两列 ), 这个行列式的符号要改变 . 证 : 给定行列式 : 11 12 1 11 12 11 2 1 2,11 2 1 21 2 1 2... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...nni i i n j j j nijj j j n i i i nn n nn n n nna a a a a aa a a a a a iDDa a a a a a ja a a a a a  交换 两行第行第行167。 n 阶行列式 D的每项可写成 : ⑸ ∵ ⑸ 的元素位于 D1的不同行 , 不同列 , ∴ ⑸ 也是 D的一项 . 反之 , D1每项也是 D的一项 , 且 D的不同项对应 D1的不同项 , ∴ D与 D1含有相同的项 . ⑸ 在 D中的符号是 , 但在 D1中 , D的 第 i行与第 j行已互换 , 而列的次序不变 , 由 引理 , 并注意到 (1...j...i...n)是一奇数 , ⑸ 在 D1中的符号是 : 11 , . . . , , . . . , , . . .i j nk ik jk n ka a a a1( ,. . . , ,. . . , ,. . . , )( 1 ) i j nk k k k11( 1 . . . . . . . . . ) ( , . . . , , . . . , , . . . , ) ( , . . . , , . . . , , . . . , )( 1 ) ( 1 )i j n i j nj i n k k k k k k k k    167。 n 阶行列式 ∴ ⑸ 在 D与 D中的符号相反 , 最终有 : D与 D1符号相反 . 交换行列式两列的情况 , 利用 命题 , 可归结为上一情况 .  证明中最后一句体现了命题 , 即由命题 : 行列式中 : 对行成立的性质  对列成立的性质 . (后面的行列式性质只对行加以证明 ) 167。 n 阶行列式 推论 若一个行列式有两行 (列 )完全相同 , 则这个行列式等于零 . 证 : 设行列式 D的第 i行与第 j行 (ij)相同 . 由命题 , 交换这两行后 , 行列式改变符号 , 即变成 D. 交换后的 i, j两行并没有改变 , 所以有 : D = D.∴ 2D = 0, 即 D = 0.  167。 n 阶行列式 命题 把一个行列式的某一行 (列 )的所有元素同乘以某一个数 k, 等于用 k乘以这个行列式 . 证 : 把行列式 D的第 i行的元素 ai1,ai2,...,ain同乘以 k, 得行列式 D1 , 则其第 i行元素为 kai1,kai2,...,kain , D每项可写作 : ⑹ D1中对应项为 : ⑺ ⑹ 在 D中符号与 ⑺ 在 D1中符号都是 , ∴ D1 = kD.  1 212, , . . . , n。