167121无穷积分

167121无穷积分内容摘要：

2, 3, .n s x ns x x x s n    2. 递推公式 ( 1 ) ( )s s s对下述积分应用分部积分法 , 有 1000e d e e dAA As x s x s xx x x s x x           10e e d .As A s xA s x x0s在 上可导 , 且 A   ()s让 就得到 的递推公式 : ( 1 ) ( ) . ( 3 )s s s设 1 , 0 1 ,n s n s n     即应用递推公式 (3) n次 可以得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )s s s s s s          ( 1 ) ( ) ( ) . ( 4 )s s s n s n()s 01s公式 (3)还指出 , 如果已知 在 上的值 , 那 么 在其他范围内的函数值可由它计算出来 . 若 s为正整数 n+1,则 (4)式可写成 0( 1 ) ( 1 ) 2 1 ( 1 ) ! e d ! . ( 5 )xn n n n x n        3.  函数图象的讨论 ( ) ( )ss 和 ()s对一切 0s , 恒大于 0, 因此 的图形 x ( 1 ) ( 2 ) 1 ，位于 轴上方 , 且是向下凸的 . 因为 ()s 0s 00 ( 1 2 ) .xx且，所 以 在 上存在唯一的极小点 0l i m ( 1 ) ( 1 ) 1 ,s s   故有 00( 1 )lim ( ) lim .sssss    ()s 0( , )x 由 (5)式及 在 上严格增可推得 ()s 0(0, )x 0( , )x 在 内严格减。 在 内严格增 . 又 由于 ( ) ( 1 )( ) ( 0 )s s sssss    及l i m ( ) .s s       0s综上所述 , 函数的图象如图 192中 部分所示 . 4. 延拓 ()s改写递推公式 (3) 为  ( 1 )( ) . ( 6 )sss当 10s  时 , (6)式右端有意义 , 于是可应用 (6)式 ()s ( 1, 0)来定义左端函数 在 内的值 ,并且可推知 ( ) 0 .s这时 19 2图x1()x234 1 2 3 412341234用同样的方法 , 利用 式又可定 义 在 ()s( 2, 1) 内的值 , 而且 这时 依此 ( ) 0 .s下去可把 ()s 延拓到整个数轴 (除了   0 , 1 , 2 ,s以外 ),其图象如图 192所示 . 已在 ( 1 ,0) 内有 ()s定义这一事实 , 由 (6) 5. ()s 的其他形式 ()s 2 ,xy在应用上 , 也常以如下形式出现 , 如令 则有 21 2 100( ) e d 2 e d ( 0 ) .s x s ys x x y y s         令 ,x py 就有 1100( ) e d e d( 0 , 0 ) . ( 7)s x s s pys x x p y ysp      二、 B 函 数 含参量积分 ： 1 110B ( , ) ( 1 ) d , 0 , 0 ( 2 )pqp q x x x p q   称为贝塔 (Beta) 函数 (或写作 B 函数 ). 注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同 ,B 函数 是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完 全类似的 . 1p 0xB 函数 (2)当 时 , 是以 为瑕点的无界函数 1q 1x 反常积分。 当 时 , 是以 为瑕点的无界函数 反常积分 . 应用柯西判别法可证得当 0 , 0pq时 这两个无界函数反常积分都收敛 . 所以函数 B ( , )pq的定义域为 0 , 0 .pqB ( , )pq 0 , 0pq1. 在定义域 内连续 由于对任何 00 0 , 0pq 成立不等式 001111 0 0 ,( 1 ) ( 1 ) , ,pqpqx x x x p p q q     而积分 001 110 ( 1 ) dpqx x x 收敛 , 故由 M 判别法知 B ( , )pq 00 ,p p q q       在 上一致收敛 . 因 B ( , )pq 0 , 0pq而推得 在 内连续 . 2. 对称 性 B ( , ) B ( , )p q q p作变 换 1,xy得 1 110B ( , ) ( 1 ) dpqp q x x x1 110 ( 1 ) d B ( , ) .pqy y y q p  3. 递推公式 1B ( , ) B ( , 1 ) ( 0 , 1 ) , ( 8 )1qp q p q p qpq   1B ( , ) B ( 1 , ) ( 1 , 0 ) , ( 9 )1pp q p q p qpq   ( 1 ) ( 1 )B ( , ) B ( 1 , 1 )( 1 ) ( 2 )( 1 , 1 ) .pqp q p qp q p qpq     证 下面只证公式 (8), 公式 (9)可由对称性及公式 (8) 推得 , 而最后一个公式则可由公式 (8), (9)推得 . 1 110B ( , ) ( 1 ) dpqp q x x x1 1 1 201 ( 1 ) ( 1 ) dp p qq x x x x xp      111 2 1 10011 ( 1 ) d ( 1 ) dp q p qqq x x x x x xpp      11B ( , 1 ) B ( , ) ,qq p q p qpp  当 时 , 有 1 , 1pq111 200( 1 ) 1 ( 1 ) dpq pqx x q x x xpp  移项并整理就得 (8) . 4. B ( , )pq的其他形 式 在应用中 B 函数也常常以如下形式出现 : 如令 2c o s ,x  则有 2 1 2 120B ( , ) 2 sin c o s d . ( 1 0 )qppq   如令 21d, 1 , d ,1 1 ( 1 )yyx x xy y y      则有 10B ( , ) d .( 1 )ppqyp q yy 11d.( 1 )ppqy yy1 ,yt考 察 令 则有 11 011d d .( 1 ) ( 1 )ppp q p qyt yyyt所以 1110B ( , ) d .( 1 )pqpqyyp q yy B三 、 函数与 函数之间的关系 ,mn当 为正数时 ,反复应用 B 函数的递推公式 ,可得 1B ( , ) B ( , 1 )1nm n m nmn1 2 1 B ( , 1 ) .1 2 1nn mm n m n m    又由于 1 101B ( , 1 ) d ,mm x xm所以 1 2 1 1 ( 1 ) !B ( , )1 2 1 ( 1 ) !n n mmnm n m n m m m       ( 1 ) ! ( 1 ) ! ,( 1 ) !nmmn( ) ( )B ( , ) . ( 11)()nmmnmn 即 对任何正实数 p, q 也有相同的关系 : ( ) ( )B ( , ) ( 0 , 0 ) . ( 12 )()pqp q p qpq  这个关系式将在第二十一章 167。 8 中加以证明 . 例 1 求证 0 d 1 1 1( , ) .423 c os 2 2x Bx 证 令 2c os ,2xu  则 002dd3 c os2 2 c os2xxxx1201 2 1 211 1 1 d( 1 )2 ( 1 ) uuuu  1 2 1 2 1 201 ( 1 ) d .2 u u u 再令 2 ,tu 则 1 2 1 2 1 201 ( 1 ) d2 u u u 1 1 2 1 4 1 201 ( 1 ) d22 t t t t   111112401 ( 1 ) d22 t t t  1 1 1B ( , ).2422复习思考题 ( , , )f x y z [ , ] [ , ] [ , )a b c d e    是定义 在。