16711波函数的统计诠释16712schr246dinger方程16713量子态叠

16711波函数的统计诠释16712schr246dinger方程16713量子态叠内容摘要：

kx  ~px  则 粒子主要局限在 α/1x 即 α/1~xΨ(x)的 Fourier展开是 则 所以 α~k则对 Gauss波包，有 利用德布罗意关系得 1/α 1/α 2)(xψ2/ px 微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是 波粒二象性的反映。 不确定性关系 或者表述为 ：假如对任一客体进行测量，以不确定量 Δp测定其 动量的 x分量时，就不可能同时测定其位置比 Δx=h/Δp更准确。 问题 1 不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾 ? 如一粒尘埃，直径 ~1μm, 质量 m~1012g，速度 v~， 则其 动量 p=mv~1013g cm/ Δx~1埃，由不确定性关系 可得 Δp~1019g cm/s,则 Δp/p~106 ，而对这种粒子的任何实际测 量的相对精度都没达到 106，因此即使像尘埃那样的粒子经典力学 的概念仍然适用。 问题 2 原子核的组成问题 考虑 β衰变 (原子核自发地放出高速电子 )。 原子核的半径 1012m, 若电子时原子核的组成粒子，则其位置不确定度 Δx≤ 1012m, 由不确定性关系得 Δp≈1015gcm/s. 从数量级上考虑 p~ Δp 因此电子的能量 M e V204222  pcpccmcpE 而所有原子核在 β衰变中放出电子的能量 M e V1βE结论： 在 β衰变中放出的电子并不是原子核的一个组成粒子，而是 在衰变过程中产生的。 问题 3 估计物质结构的不同层次的特征能量 不确定性关系  px 在非相对论情况下 mpmpE 2/)(2/ 22 对于原子 ， Δx~108cm， 用电子质量代入可得 eV4)(2 22 xmEe 对中等质量的原子核 ， Δx~6 1013cm， 用中子质量代入可得 M e V1)(2 22 xmEn 在相对论情况下 xcpcpcE粒子的大小 Δx≤ 1013cm， 则其能量为 E~ 力学量的平均值与算符的引进   rxrx 32 d)( ψ  rrVrV 32 d)()( ψ  rrprp 32 d)()(  ψ   rerp rp 3/i2/3 d)()2( 1)(  ψπφ若波函数已经归一化，则位置的平均值为 势能的平均值为 因空间中某一点的动量没有意义，则动量的平均值 如何求动量的平均值。 给定波函数 Ψ( r ), 测得粒子的动量在 (p,p+dp)中的概率为 pp 32 d)( ，其中   iˆp  rrprp 3d)(ˆ)(  )()i)((d )()i()2(1)(dd )()2(1)(d )()(dd)(3/i2/333/i2/333332rrrperrppperrpdpppppppprprpψψφπψφπψφφφ则粒子动量的平均值为 令 则 zpypxp zyx   iˆ ,iˆ ,iˆ动量算符 动能的平均值 2232ˆ ,d)(ˆ)(   mTrrTrT ψψ角动量的平均值 prlrrlrl ˆˆ ,d)(ˆ)( 3     ψψ角动量的三个分量算符 xyyxpypxlzxxzpxpzlyzzypzpylxyzzxyyzxiˆˆˆiˆˆˆiˆˆˆ一般地 )ˆ,(d)(ˆ)( 3 ψψψψ ArrArA    若波函数没有归一化，则 ),/()ˆ,( ψψψψ AA 思考题 如果给定波函数 Φ(p),则粒子坐标的平均值为 prpprpr    iˆ ,d)(ˆ)( 3φφ试证明之。 统计诠释对波函数提出的要求 (a) 根据波函数的统计诠释，其概率密度在空间有限区域内的积分 应该为有限值。 )39( d)(032 有限值τ ψ rr(b) 一个真实的波函数应该满足归一化条件 )40( 1d)( 32 全 rrψ(c) 按统计诠释的要求，波函数模的平方应为单值 如果取波函数的孤立奇点 r0=0，当 r→0 时，上式的积分应该趋于 0， 即要求 0)( 23 rr ψ若当 srr /1~,0 ψ ，则要求 2/3s(d) 波函数及其各阶微商的连续性 一般要求： 单值、连续、有限 例题 1 电子显微镜的分辨率。 要观测一个大小为 光子的最小能量是多少。 若把光子改为电子呢。 解： 为发生散射光波的波长必须与所观察物体的大小同数量级， 或者更小，所以在该问题中所采用光波的最大波长 λ=。 相应的光子的最小能量为 eVhchE 3m a xm i nm i n  λν若把光子改为电子，则电子的最大波长 λ= 按照非相对论计算， ke Emp 2则 ke Emhph2λ则最小能量是 eVm hEek 2m a x2m i n  λ对于给定的能量，电子比光子具有更高的分辨率。 例题 2 一维运动的粒子处于状态  0 ,00,)(xxA x ex xλψ其中 λ0, A是待求的归一化常数，求： (1)粒子坐标的概率密度； (2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值； (3) 粒子动量的概率分布函数和概率密度； (4)粒子动量的平均值和动量平方的平均值。 解： 首先对波函数归一化，由波函数的归一化条件 1d)( 2  xxψ得 14d 320222   λλ AxexA x2/32λA计算得  0 ,00,2)( 2/3xxxex xλλψ则 (1)粒子的概率密度为  0 ,00,4)( 2232xxexx x(2) 粒子坐标的平均值 23d4d0233    xexxxx x坐标平方的平均值 2024322 3d4d    xexxxx x  22/130)/i(2/13/i2/1/i)2(2d)2(2 d)()2(1)(pxxexexpxppxλπλπλψπφλ则粒子动量的概率分布函数是 2222332)(2)(pp  λπλφ(4)粒子动量的平均值为 0d)( 2    p。