chapter4有限域

chapter4有限域内容摘要：

1 1 1           3241 3 3 3 3。 2 3 3 3。 3 3。 0 3 3 3 3 3           有限循环群和无限循环群  若元素 a的所有幂次均不相同 (无限循环群 )  存在整数 h和 k，使得 ak=ah，则有 a生成的循环群中元素个数有限 (有限循环群 ) 循环群元素的级  若 ak=ah，则有 ahk=e，定义使 an=e的最小正整数为有限循环群元素 a的 级。  a0=e, a1, …, an1均不相同  an=e ，则 a的一切幂次生成的元素都在 G(a)={a0=e, a1, …, an1 }中  可换群 G中的每一个元素 a都能生成一个循环群。 若 a为有限级，则生成有限循环群， a的级即为循环群中元素的个数 (循环群的阶 ) 循环群的构造及性质 若 a是 n级元素，则 am=e的充要条件是 n|m 若 a是 n级元素， b是 m级元素，且 (n,m)=1,则 (ab)的级为nm 若 a是 n级元素， 则 ak的级为 n/(k,n) 若 a是 dk级元素， 则 ak为 d级元素 n阶循环群中，每个元素的级是群阶数 n的因子 单位原根： n阶循环群中，每一个 n级元素称为 n次单位原根 n阶循环群中有 个单位原根 欧拉函数： 0, 1, …, n1中与 n互素的个数 如 n=12=3 22，则 有限循环群中级的性质  n n   111isiiin p p 1212 ssn p p p   2 1 1 112 2 ( 2 1 ) 3 ( 3 1 ) 4    有限域的乘法结构 域的乘法群必为某一个元素生成的循环群，即 q阶域中必能找到一个 ，其级为 q1。 即所有有限域元素都能表示成生成元的幂次的形式，此时的生成元称为 本原元。 在 GF(q)中，每一个非 0元素均满足 xq1=1，即都是方程 xq11=0的根。 反之， xq11=0的根必在 GF(q)中 GF(q)中必有本原域元素存在 在含有 n次单位原根的任意域上，有下述因式分解  101nniixx   分圆多项式 以 GF(q)中彼此不同的 d级元素为全部根的首一多项式，称为 d级分圆多项式，记为 Q(d)(x) d级分圆多项式 Q(d)(x) 的次数为 其中 为 Mobius函数， pi为素数  d   1()0|1nn i diddnx x Q x           ()||11dn nnd d dddd n d nQ x x x   210 |( ) ( 1 ) , ,1 1ikkpaa a p pa   Examples 分解 GF(2)上的 x151多项式         1 5 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 1 5 )( 1 )( 1 )( 3 ) 1( 3 ) 3 ( 1 ) 3 2( 5 ) 1( 5 ) 5 ( 1 ) 5 4 3 2( 1 5 )( 1 5 ) 3 ( 5 ) 5 ( 3 ) 1 5 ( 1 )1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( 1 )( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x Q x Q x Q x Q xQ x x xQ x x x x x x xQ x x x x x x x x xQ x x x x x                            3 1 5 1 1 58 7 5 4 3 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1x x x xx x x x x x          有限域的加法结构 域的特征  满足 ne=0的最小 n值为 域的特征 ，这里 e为乘法单位元， 0为域的零元， n取自正整数  GF(p)的特征为 p  每一个域的特征或为素数，或为 ∞  域的 特征 说明了域中 加法运算的循环性 ，而域中元素的 级 则说明了 乘法运算的循环性。 元素的周期  对域中元素 a≠0，满足 na=0的最小 n值为 a的 周期。 （注意对于域而言， 在加法上用周期，在乘法上用级 ）  域中非 0元的周期都相同，且与域的特征相等 在 p特征域中，域整数全体（形如 ne的全体域元素 : n=…, 2, 1, 0 ,1, 2, … ）构成 p阶素子域，它与模 p的整数域GF(p)同构    0 , 1 , 2 1 , , ( 1 ) 1 0 , 1 , 2 , , 1pR p p   有限域加法性质 GP(p)为 GF(pm)的 基域 ， GF(pm)为 GF(p)的 扩域，GF(pm)的特征为 p。 如 GF(22)的 4个元素 : 00, 01, 10, 11中的每一个特征均为 2；故 GF(22)是一个特征为 2的域 在特征为 p的域中，恒有 其中， a是域中的任一元素 在 p特征域中，对任何域元素 a, b，恒有 在 p特征域中，任一元素的级均不是 p的倍数 (,推论 )   p ppx a x a    p ppa b a b  有限域加法性质 若 w1, w2, …, wk是 p特征域的元素，则对于一切自然数 n，恒有 若 k是 p特征域的域整数，则对于一切自然数 n，必满足方程 ，即 (见 )。