chapter3transforms变换

chapter3transforms变换内容摘要：

kqz+qw)= qv+qw , qv= (iqx+jqy+kqz)=(qx, qy, qz) , i2 = j2 = k2 =1, jk=kj=i, ki=ik=j, ij=ji=k qw为实部， qv称为虚部， i, j, k 称为虚轴  四元 数 乘： qr = (iqx+jqy+kqz+qw) (irx+jry+krz+rw) = i (qyrzqzry+rwqx+qwrx) + j (qzrxqxrz+rwqy+qwry) + k (qxryqyrx+rwqz+qwrz) + qwrwqxrxqyryqzrz =(qv rv+rw qv+ qw rv, qw rw qv. rv)  四元 数 加： q + r = (qv, qw) + (rv, rw) = (qv+rv , qw+rw)  四元数共轭： q*= (qv, qw)*= (qv, qw)  四元数范数： n(q)= ||q2|| =q q*=q* q = qv .qv+q2w=q2x+q2y+q2z+q2w  四元数的逆： q－ 1= q* / ||q2||  共轭法则 : (q*)*= q。 (q+r)*= q*+ r*。 (qr)*= r*q*  范数法则 : n(q) = n(q*)。 n(qr) = n(q) n(r)  线性性： p(sq+tr) = s pq+ tpr (sp+tq)r = s pr+ tqr  交换率： p(qr)=(pq)r  单位四元数： n(q) =1, 可写成 q= (sin248。 uq, cos248。 )=sin248。 uq+cos248。 其中 ||uq||=1  对于单位复数，有 cos248。 + i sin248。 = ei248。 对于单位四元数有： q= sin248。 uq+ cos248。 = e248。 uq  对数运算： log(q)=log(e248。 uq)=248。 uq  指数运算： qt=(sin248。 uq, cos248。 )t=e248。 t uq =sin(248。 t )uq+ cos(248。 t ) 四元数变换  单位四元数的最重要性质： 能表示任意旋转，而且表示简单、紧凑  给定矢量 p=(px, py , pz , pw)T和单位四元数 q= (sin248。 uq, cos248。 )， qpq1把 p绕单位轴 uq旋转 2248。 角度 uq 248。 248。 • q和 q表示相同的旋转 • q和 r的复合旋转为 rq 矩阵转换  把 q转化为旋转矩阵，可得到 ( 设 s=2/n(q) )： 对于单位四元数，上式简化为 10000)(1)()(0)()(1)(0)()()(1222222yxxwzyywzxxwzyzxzwyxywzxzwyxzyqqqsqqqqsqqqqsqqqqsqqsqqqqsqqqqsqqqqsqqsM10000)(21)(2)(20)(2)(21)(20)(2)(2)(21222222yxxwzyywzxxwzyzxzwyxywzxzwyxzyqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqM旋转矩阵到四元数的转换  由 Mq可得到 故若得到 qw，则 qx、 qy、 qz便可得。 因为 zwqqywqqxwqqqqmmqqmmqqmm444011020201221)(4414)(24)(2222222222222222qMnqqqqqqqqqqqqqqqqstrwwzyxwwzyxzyxzyxq  故单位四元数为 wqqzwqqywqqxqwqmm qqmm qqmm qq4 ,4 4 ,)(tr21011020201221 M单位四元数的球面线性插值  给定两个单位四元数 q和 r，计算其插值四元数  代数形式  更有用的形式 Spherical Linear intERPolation (Slerp) 10。 )(),( 1   tt t qrqrqswwzzyyxx rqrqrqrqtttttc o s10。 s i n)s i n (s i n))1(s i n (),(s l e r p),(其中rqrqrqs多个单位四元数的插值  目标： 给定单位四元数 q0, q1, … q n1,计算其插值四元数  用 Slerp直接推广，会导致关键帧处朝向的变化不连续  三次样条法 : (1) 首先计算辅助四元数 (2) 然后用三次 样条进行插值   4)l og ()l og (e x p 1111 iiiiiiiqqqqqba))(1) , 2,sl e r p (),p(sl e r p ( sl e r),(sq。