91小波变换的定义

91小波变换的定义内容摘要：

)(tx ),( ba),( 00 ba ),( 00 baWT x),( RbRa   ),( baWTx ),( 00 baWT x),( aWT x)(tx),( ba),( baWT x )(tx 第 9章 小波变换基础 若 a,b连续取值，要想找到这样的母小波 使 两两正交，那将是非常困难地。 因此，连续 小波变换的 必然存在信息冗余。 然而，当 a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基 )(, tba)(t)(, tba),( baWT x第 9章 小波变换基础 • 第一类 :是所谓地 “ 经典小波 ” ，在 MATLAB中又称作 “ 原始（ Crude）小波 ”。 •第二类：是 Daubecheis构造的正交小波 •第三类：是由 Cohen，Daubechies构造的双正交小波 第 9章 小波变换基础 Haar小波 Haar小波来自于数学家 Haar于 1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是： （ ） 其波形如图 （ a）所示。 的傅里叶变换是： （ ） 011)( t其它12/12/10tt2/2 )(s i n4)( jeaj)(t第 9章 小波变换基础 2/121000)(t)1( t)2/(tttt21111 图 Harr小波 (a) ， (b) ， (c) )(t )1( t )2/(t 第 9章 小波变换基础  Haar小波的优点 • Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（ 0， 1） • Haar小波属正交小波。 若取 ，那么 • Haar波是对称的。 系统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。 Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波； • Haar小波仅取＋ 1和－ 1，计算简单。 ZbZj2a j   ,0)2(),(   tt j第 9章 小波变换基础 Haar小波缺点 Haar小波是不连续小波，由于 ，因此处 只有一阶零点 ，这就使得 Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。   0)( dttt)( 0第 9章 小波变换基础  Morlet小波 Morlet小波定义为 () 其傅里叶变换 （ ） 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。 考虑到 待分析的信号一般是实信号。 Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用 于连续小波变换。 但该小波是对称的，是应用较为广 泛的一种小波。 tjt eet  2/2)(2/)( 202)(  e 第 9章 小波变换基础 tet t 02/ c o s)( 2   MATLAB中将 （ ） 式改造为： （ ） 并取。 该小波不是紧支撑的 ， 理论上讲 t可取。 但是当 ， 或再取更大的值时 ， 和 在时域和频域都具有很好的集中 ， 如图 示。 50 50  ~)()(t第 9章 小波变换基础 4 2 0 2 4101 Morlet wavelet: Psi0 10246810121416The FT of Psi图 Morlet小波 ， (a)时域波形 ， (b)频谱 第 9章 小波变换基础  Mexican hat小波 该小波的中文名字为 “ 墨西哥草帽 ” 小波，又称 Marr小波。 它定义为 : () 式中 ，其傅里叶变换为 () 该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的 ,其波形 和其频谱如图。 2/2 2)1()( tetct 4/132 c2/2 22)(  ec 第 9章 小波变换基础 4 2 0 2 401 Mexican hat wavelet: Psi0 102468101214161820The FT of Psi图 墨西哥草帽小波 ， (a)时域波形 ， (b)频谱 第 9章 小波变换基础 Mexican hat小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。 由于该小波在 处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征。 0第 9章 小波变换基础  Gaussian小波 高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到 的，定义为： ， () 式中定标常数是保证。 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧 支撑的。 当 k取偶数时 正对称，当 k取奇数时， 反对称。 图 k=4时的 的时域波形及对 应的频谱。 2tkk2edtdct /)(  821k , 1t 2 )()(t )(t)(t第 9章 小波变换基础 10 5 0 5 1001Gaussian wavelet: Psi0 1051015 The FT of Psi 图 高斯小波 ， 取 k=4,(a)时域波形 ， (b)频谱 第 9章 小波变换基础 目前提出的正交小波大致可分为四种，即 Daubechies小波，对称小波， Coiflets小波和 Meyer小波。 这些正交小波和前面所讨论的 “ 经典 小波 ” 不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给 出 ，而是通过一个叫做 “ 尺度函数（ Scalling function） ” 的 的加权组合来产生的。 )(t)(t第 9章 小波变换基础 Daubechies小波 Daubechies小波简称 db小波。 它是由法国女学者 Ingrid Dauechies于 90年代初提出并构造。 Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度 a取 2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《 Ten Lectures on Wavelet（小波十讲） 》 第 9章 小波变换基础 dbN中的表示 db小波的阶次， ，。 当时，db1即是 Haar小波。 因此，前述的 Haar小波应归于“ 正交小波 ” 类。 Daubechies计算出了 时的 及。 db小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。 的支撑范围在 ， 的支撑范围在。 小波 具有阶消失矩， 在 处具有阶零点。 但 db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（ CQMFB）。 ， 10~2N 1N10~2N010 ,),( ghht 1g)(t )12(~0  Nt )(tNN ~)1(  )(t )(0第 9章 小波变换基础 0 2 4 6 801db4: Phi0 2 4 6 8101db4: Psi0 105101520 The FT of Phi0 1051015 The FT of Psi 图 时 db小波 (a) ， (b) ， (c) ， (d) )(t )(t )( )( 第 9章 小波变换基础  对称小波 对称小波简记为 symN， ，它是 db小波的改进，也是由 Daubechies提出并构造的。 它除了有 db小波的特点外，主要是 是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。 图 是 N＝ 4时的对称小波。 8,3,2 N)(t第 9章 小波变换基础 0 2 4 6 801Sym4: Phi0 2 4 6 8101Sym4: Psi图 N＝ 4时的对称小波 ， (a) ， (b) )(t )(t 第 9章 小波变换基础  Coiflets小波 该小波简记为 coifN，。 在 db小波中， Daubechies小波仅考虑了使小波函数 具有消失矩（ N阶），而没考虑尺度函数。 coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为 ，也是接近对称的。 的消失矩是 2N， 的消失矩是 2N－ 1。 5,2,1 N)(t)(t16 N)(t)(t第 9章 小波变换基础 0 10 20 3001Coif4: Phi0 10 20 30101Coif4: Psi图 Coiflets小波 ， (a) ， (b) )(t )(t第 9章 小波变换基础  Meyer小波 Meyer小波简记为 meyr，它是由 Meyer于 1986年提 出的。 该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜 像滤波器组的频谱来定义的。 Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑 的，但其有效的支撑范围在 [－ 8， 8]之间。 该小波是 对称的，且有着非常好的规则性。 第 9章 小波变换基础 10 5 0 5 100110 5 0 5 10101 图 Meyer小波 ， (a) ， (b) )(t )(t第 9章 小波变换基础 双正交小波 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。 因此，正交小波条件下的 ， 和 与 都不具有线性相位（ Haar小波除外）。 Daubechies和 Cohen提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。 )(t )(t 010 , ghh1g第 9章 小波变换基础 双正交滤波器组简称 biorNr。