84059第十一章

84059第十一章内容摘要：

， 因此所求直线方程为 y ＋ 3 ＝－34( x ＋ 1) ， 即 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0. 【 互动探究 】 2．直线被两直线 l1： 4x＋ y＋ 6＝ 0， l2： 3x－ 5y－ 6＝ 0 截得 的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程． ①＋②得： x0＋ 6y0＝ 0，即点 A 在直线 x＋ 6y＝ 0 上，又直 线 x＋ 6y＝ 0 过原点，所以直线 l 的方程为 x＋ 6y＝ 0. 所以 4 x 0 ＋ y 0 ＋ 6 ＝ 0 ①－ 3 x 0 ＋ 5 y 0 － 6 ＝ 0 ② 解： 设所求直线与 l l2 的交点分别是 A、 B，设 A(x0， y0)， 则 B 点坐标为 (－ x0，－ y0)． 因为 A、 B 分别在 l l2 上， 考点 3 点到直线的距离 例 3：经过点 (2,1)的直线 l 到 A(1,1)、 B(3,5)两点的距离相等， 求直线 l 的方程． 解析： 当直线与 AB 平行时， k＝ kAB＝ 2， ∴ 直线的方程 y－ 1＝ 2(x－ 2)，即 2x－ y－ 3＝ 0. 当直线过 AB 的中点时， AB 的中点为 (2,3)， ∴ 直线的方程为 x＝ 2. 故所求直线的方程为 2x－ y－ 3＝ 0 或 x＝ 2. 考点 4 对称问题 例 4： 如图 11－ 1－ 2，已知 A(4,0)、 B(0,4)，从点 P(2,0)射 出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB ) 反射后又回到 P 点，则光线所经过的最短路程是 ( 图 11－ 1－ 2 A． 2 10 B． 6 C． 3 3 D． 2 5 解题思路： 利用对称知识，将折线 PMN 的长度转化为折线 CNMD 的长度． 解析： 设点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的 对称点为 C(－ 2,0)，则光线所经过的路程 PMN 的长为 PM＋ MN ＋ NP＝ DM＋ MN＋ NC≥CD＝ 2 A. 本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利 用平面几何知识与对称的性质实现转化．一般地，在已知直线 上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条 折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离 之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从 而实现转化． 【 互动探究 】 3．已知点 A(－ 3,5)， B(2,15)，在直线 l： 3x－ 4y＋ 4＝ 0 上 求一点 P，使 |PA |＋ |PB|最小． 解： 由题意知，点 A、 B 在直线 l 的同一侧． 利用平面几何性质，先作出点 A 关于直线 l 的对称点 A′， 然后连接 A′B，则直线 A′B 与 l 的交点即为所求点 P. 事实上，设点 P′是 l 上异于 P 的点， 则 |P′A|＋ |P′B|＝ |P′A′|＋ |P′B||A′B|＝ |PA |＋ |PB|. 设 A ′ ( x ， y ) ，则 y － 5x ＋ 334＝－ 13x － 32－ 4y ＋ 52＋ 4 ＝ 0，解得 x。