73romberg积分

73romberg积分内容摘要：

若记 (2) 0()mim i mip x a x P1( ) ( ) ( )mbm k m kakx p x d x A p x 11 1 001( ) ( . . . )mn bi m mi k m k m k kaika x x d x A a x a x a x a     ( ) , 0 , 1 , 2 , . . . ,b i iax x d x i m 1{}nkkA  1{}nkkx 则 (2)式成为 (3) 由于系数 的任意性 ,故使 (3)式 成为恒等式的充要条件是 (4) (4)式的待定系数有 2n个 ,所以确定待定系数的 1 1 1 1 0 0...m m m ma a a a      101 1 1...n n nmm k k k k kk k ka A x a A x a A       1 1 0, , .. ., ,mma a a a1 2 01 1 2 2 11 1 2 2nnnm m mn n mA A AA x A x A xA x A x A x          独立条件至多给出 2n个 ,从而可知 m至多为 2n1. 定义 1 n点的求积公式 (1)具有 2n1次代数 精确度 (或称为具有最高的代数精确度 )时 ,称 为 Gauss型求积公式 . Gauss型求积公式的求积节点 ,称为 Gauss点 ,它们可以通过求区间 [a,b]上带权 的 n次正交多项式 的 n个根获得 .所以先介 绍正交多项式及其性质 .然后讨论 Gauss型求 积公式的构造 ,等等 . 1{}nkkx ()x()ngx 正交多项式及其性质 定义 2 若 (1) ,则称函数 f(x)和 g(x)在区间 [a,b]上正交 . (2) ,则称函数 f(x)和 g(x)在区 间 [a,b]上带权 正交 . (3)代数多项式序列 (下标 k为多项式 的次数 , 表示 k次多项式 ),在区间 [a,b]上满足 当 m n 当 m=n 则称多项式序列 为区间 [a,b]上带权 ( ) ( ) 0ba f x g x d x ( ) ( ) ( ) 0ba x f x g x d x ()x0{ ( )}kkgx ()kgx20,( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) 0bbnmanax g x g x dxx g x dx  0{ ( )}kkgx  的正交多项式序列 . 定义 3 若 n次记多项式 中含 项的系 数为 ,则称 为 的 首次系数。 时 ,称 为 首次系数为 1的 n次多项式 . 正交多项式有如下性质 : 性质 1 若 是区间 [a,b]上带权 的正 交多项式序列 ,则它们线行无关 . 证 对任意的 ,若 ,在式子 两边同乘 ,并从 a到 b积分 ,由 的正交性定义 1中的 (3)可知必有 ()x()ngx nxnd nd()ngx 0nd * ()() nnngxgxd0{ ( )} nkkgx  ()x[ , ]x a b0( ) 0nkkkc g x( ) ( )lx g x ( 0 , 1 , ... , )ln0{ ( )} nkkgx  0lc  .故正交多项式序列 线性无关 . 由性质 1可知 ,若 为 [a,b]上带权 的 正交多项式序列 ,则序列 可以作为空间 的一组基函数 ,即 中的任一元素 可由它们线性表出 : 其中 为组合系数 . 性质 2 若 为 [a,b]上带权 的正交多 项式序列 ,且 ,则 0{ ( )} nkkgx ()x0{ ( )} nkkgx [ , ]nP a b [ , ]nP a b ()npx0( ) ( )nn k kkp x a g x 0{}nkka ( 0 , 1 , ... , )ln 0{ ( )} nkkgx 0{ ( )}kkgx  ()x( ) [ , ]nq x P a b(1) (2) 事实上 ,由性质 1, .由 的正 交性定义容易证得 (1).证 (2)也是类似的 . 为方便起见 ,记 下面 ,不加证明地给出正交多项式如下的性质 : 性质 3 [a,b]上带权函数 的正交多项式序 列 相邻三项的递推关系为 其中 , , 0( ) ( )nkkkq x a g x  { ( )}ngx( , ) ( ) ( ) ( )baf g x f x g x d x 0{ ( )}kkgx 1 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ) , 1 , 2 , .. .,n n n n n ng x a x g x g x n     1nnndad 1 ( , )( , )n n nnn n nd g x gd g g  ( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . .b ka x q x g x d x k n n    ( ) ( ) 0 , 0 , 1 , 2 , . . . , 1b ina x g x x d x i n   ()x 为 的首项系数 , 即为 性质 4 [a,b]上带权函数 的正交多项式 序列 中任意相邻两个正交多项式 和 的根相间 . 若记 , 的根分别为 , 则所谓 与 的根相同 ,即是指这两个正 交多项式的根有如下的关系 . 111 211( , ) ,( , )n n n nnn n nd d g gd g g  11,n n nd d d 11( ) , ( ) , ( )n n ng x g x g x( ) ( , 1 )kg x k n n0{ ( )}kkgx  ()ngx1 ()ngx()ngx 1 ()ngx () 1{}nniix  ( 1) 11{}nnjjx 1 ()ngx()ngx()x 性质 5 (1) 区间 [a,b]上带权函数 的正交 多项式序列 与 对应元素之间 只相差一个比例常数 . (2)区间 [a,b]上带权函数 首项系数为 1的 正交多项式序列 唯一 . 常见的正交多项式有 Legendre(勒让德 )多 项式、 Hermite多项式、 Chebyshev多项式以 及 Jacobi多项式 , Chebyshev多项式在 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )1 1 2 , 1 , 2 , .. ., 1n n n n ni i i i ix x x x x i n       0{ ( ) }nnfx  0{ ( ) }nngx* 0{ ( )}nngx ()x()x详细讨论 ,这里主要介绍 Legendre多项式 一、 Legendre多项式 隐式表达式 显式表达式 ()nPx02( ) 1 ,1 ( 1 )( ) , 1 , 2 , .. .2!nnn nnPxdxP x nn d x   020( ) 1 ,1 ( 2 2 )( ) ( 1 ) ,2 ! ( ) ! ( 2 ) !Nj n jn njPxnjP x xj n j n j1 , 2 , ...n  当 n为偶数时 , 当 n为奇数时 . Legendre多项式的主要性质有 (1)n次 Legendre多项式 的首项系数 当 x=1, 当 x=1. (3)正交性为 : 为区间 [1,1]上带权 函数 的正交多项式序列 ,且有 / 2 ,( 1 ) / 2 .nNn 其 中()nPx2( 2 ) !( )。 2 ( ! )n nnxnd1,( 2 ) ( 1 )( 1 ) ,n nP 0{ ( ) }nnPx ( ) 1x  当 m n。