43洛朗展式及孤立奇点

43洛朗展式及孤立奇点内容摘要：

nzzznn ||0 z机动 目录 上页 下页 返回 结束 27 例 5 : )1)(2( 52)( 22在以下圆环域求   zz zzzf内的洛朗展开式 .。 21)1(  z 520)2(  z解 1221)( 2  zzzf, 21 )1 时当  z   22 1121221)(zzzzf 22 111221121zzz机动 目录 上页 下页 返回 结束 28 nnnnnzzz   20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnn zz, 520 )2 内在  z1221)(2  zzzf  iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz机动 目录 上页 下页 返回 结束 29 iziiziiz221)2(1221)2(121    0 0 22)1(2122)1(2121n nnnnniziiziiz.5 )2(])2()2[()1(21 1110  nnnnnn ziiiz  110 )2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz机动 目录 上页 下页 返回 结束 30 四、解析函数的孤立奇点 定义 如果函数 0z)(zf 在 不解析 , 但 )(zf 在 0z的某一去心邻域  00 zz 内处处解析 , 则称 0z )(zf为 的 孤立奇点 . 例 0z 是函数 z ze z s in,1的孤立奇点 . 注意 : 孤立奇点一定是奇点 , 但奇点不一定是孤 立奇点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 31 例 1 指出函数 0z在点 zzzf 1s i n)(2的奇点特性 . 解  kzz1,0 ),2,1( k，因为 01l i m  kk即在 0z 的不论怎样小的去心邻域内 , 的奇点存在 , 函数的奇点为 )(zf总有 0z 不是孤立奇点 . 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 32 孤立奇点的分类 依据 )(zf 在其孤立奇点 0z 的去心邻域  00 zz 内的洛朗级数的情况分为三类 : 1．可去奇点 1．可去奇点。 2．极点。 3．本性奇点 . 如果洛朗级数中 不含 的负幂项 , 0zz0z )(zf那末孤立奇点 称为 的 可去奇点 . 1) 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 33 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断 : 的洛朗级数无负 0z)(zf 在 如果 幂项则 0z 为 )(zf 的可去奇点 . (2) 判断极限 :)(lim0zfzz 若极限存在且为有限值 , 则 0z 为 )(zf 的可去奇点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 34 定理 设函数 f (z) 在 0 |zz0| (0  +)内解析， 则 z0为 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是 )(lim0zfzz存在且有限 .() 证 必要性 设 z0为 f (z)的可去奇点， 从而在 0 |zz0| 内有   nn zzczzcczf )()()( 0010因为上式右端幂级数的和函数 g(z)在 |zz0| 内解析， 特别在 z = z0 处连续， 当 z  z0 时， 记 f (z) = g (z), 则 .)(lim)(lim 000czgzf zzzz  机动 目录 上页 下页 返回 结束 35 充分性 设在 0 |zz0| 内 f (z) 的洛朗展式为 .)()( 0 nnn zzczf  存在，由于 )(lim0zfzz 则存在正数 M 和  (  ) 使得 0 |zz0|  时， |f (z)|  M. 所以    C nn zfic   d)( )(2 1||0 10  C nzf |d||| |)(|2 1 10 ),2,1( /22 1 1   nM n令   0得 cn= 0, (n =1,2,  ), z0 是 f (z) 的可去奇点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 36 例 2 0z 为 zez 1的哪种孤立奇点 . 解 zez 1,!1!211 1   nznz  z0所以 0z 为 的可去奇点 . zez 1无负幂项 另解 zzzzeze00l i m1l i m因为0z所以 的可去奇点 . 为 zez 1)1!1!211(1 2   nznzzz,1机动 目录 上页 下页 返回 结束 37 2. 极点 1012020 )()()()(   zzczzczzczf mm )0,1(   mcm  )( 010 zzcc且 级极点 . 0z )(zf m那末孤立奇点 称为函数 的。