33b样条曲线与曲面

33b样条曲线与曲面内容摘要：

kjP B样条曲线的deBoor算法的几何意义清华大学 计算机图形学 节点插入算法 • 通过插入节点可以进一步改善 B样条曲线的局部性质 ， 提高 B样条曲线的形状控制的灵活性 ， 可以实现对曲线的分割等。 – 插入一个节点 在定义域某个节点区间 内插入一个节点 t，得到新的节点矢量： 重新编号成为  1, ii tt 1 11 21 111101 ,, 1  kniii ttttttT  knii ttttttT  ,, 1101 清华大学 计算机图形学 这个新的节点矢量 U1决定了一组新的 B样条基 原始的 B样条曲线就可以用这组新的 B样条基与未知新顶点 表示 1iP101,1)()(njkj tNPtP j清华大学 计算机图形学 • Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式 • r 表示所插结点 t在原始节点矢量 T中的重复度。 1,1 ,2 ,)1(1,1,0 ,11111nrijPPrikijPPPkijPPjjjjjjjjjjkjjj tttt 1清华大学 计算机图形学 1 kiP2 kiP3 kiP1iPiP12 kiP13 kiP1iP 图3 .1. 30 实线框中k个 新顶点 取代虚 线框中k1个原始顶点0P1P2P3P11P12P13P1t2t3t4t5t6tt图3 .1. 31 三次B样 条曲线插入一个节点 ],[ 43 ttt 清华大学 计算机图形学 0P1P2P3P11P1t2t3t4t5t6tt图3 .1. 32 三次B样 条曲线插入一个节点 )(32ttt 清华大学 计算机图形学 B样条曲面 • 给定参数轴 u和 v的节点矢量 p q阶 B样条曲面 定义如下 ],[ 10 pmuuuU  ],[ 10 qnvvvV    minjqjpiij vNuNPvuP0 0, )()(),(清华大学 计算机图形学 构成一张控制网格，称为 B样条曲面的特征网格。 和 是 B样条基，分别由节点矢量 U和 V按 deBoorCox递推公式决定。 )(, uN pi )(, vN qjijP清华大学 计算机图形学 00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P 双 三次B样条 曲面片清华大学 计算机图形学 NURBS曲线与曲面 • B样条曲线包括其特例的 Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线， B样条曲面包括其特例的 Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。 • 提出 NURBS方法，即 非均匀有理 B样条 方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的 B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 清华大学 计算机图形学 – NURBS太过复杂，常令人望洋兴叹 – NURBS Book， 走向实用化 (见下页 ) 清华大学 计算机图形学 Some years ago a few researchers joked about NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational BSplines, write the authors in their foreword。 they formulate the aim of changing NURBS to EURBS, that is, Everybody.… There is no doubt that they have achieved this goal.... I highly remend the book to anyone who is interested in a detailed description of NURBS. It is extremely helpful for students, teachers and designers of geometric modeling systems. Helmut Pottmann 清华大学 计算机图形学 • NURBS方法的主要优点 – 既为标准解析形状 (即前面提到的初等曲线曲面 )，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式 清华大学 计算机图形学 • B样条曲线包括其特例的 Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线， B样条曲面包括其特例的 Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。 • 提出 NURBS方法，即 非均匀有理 B样条 方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的 B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 清华大学 计算机图形学 • 两类研究问题 – 逼近问题：圆弧的 Bezier曲线逼近，挪威Oslo学派的工作 – 精。