31离散傅里叶变换的定义32离散傅里叶变换的基本性质33

31离散傅里叶变换的定义32离散傅里叶变换的基本性质33内容摘要：

X 式中 xep(n)=[x(n)+x*(Nn)]/2 () xop(n)=[x(n)x*(Nn)]/2 () 任何有限长序列 x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 类似的 x(n)的 DFT[x(n)]=X(k)也可以表示成其共轭对称分量 Xep(k)和共轭反对称分量 Xop(k)之和， 即 X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k) 其中 Xep(k) =[X(k)+X*(Nk)]/2 X(k)的共轭对称分量 Xop(k) =[X(k)X*(Nk)]/2 X(k)的共轭反对称分量 x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N1 () 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 2. DFT的共轭对称性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r i e p o px n x n jx n x n x n   DFT( ) ( ) ( ) ( ) ( )e p o p R IX k X k X k X k jX k   DFT DFT DFT DFT第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 例题 第三章 习题 12 (1) 1( ) [ ( ) * ( ) ]21( ) [ ( ) * ( ) ]2epopF k F k F N kF k F k F N k    )()()( njynxnf )()]([)()()]([)(kjFnyD F TkYkFnxD F TkXopep解 : 由 DFT的对称性可知 已知 而 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X kNkNNjkNNkNjkNWeWeW)(22( ) ( )1 1 1 1 1[]2 1 1 1 1N N N Nk k N k N kN N N Na b a bjja W b W a W b W            )]()([21)( * kNFkFkF ep kNNkNNbWbjaWakF1111)(1 1 1 1 1[]2 1 1 1 1N N N Nk k k kN N N Na b a bjja W b W a W b W         kNNaWa11第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 101( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )N kne p e p Nkx n I D F T X k I D F T F k F k WN    1010)(1NmNknmkNm WaN 1010)(1NkknNNmkmNm WWaN 10 111 NkknNkNNWaWaN21()01()N j k m nNkreNm n r N    01na n N   10()Nmmra m n r N     同理 1( ) ( )1()Nop kNnbY k jF kbWy n b   01nN  第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X (3)设 x(n)是长度为 N的实序列， 且 X(k)=DFT［ x(n)］ . 则 ① X(k)=X*(Nk),0≤k≤N1 () ② 如果 x(n)=x(Nn) 则 X(k)实偶对称， 即 X(k)=X(Nk) () ③ 如果 x(n)= x(Nn)， 则 X(k)纯虚奇对称 ， 即 X(k)= X(Nk) () 对实序列的进行 DFT,可以利用上述对称性减少计算量 . 此性质可用于求频域序列的后半段 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 利用 DFT的共轭对称性， 通过计算一个 N点 DFT， 可以得到两个不同实序列的 N点 DFT. 设 x1(n)和 x2(n)为两个实序列，构成新序列 x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 计算 x(n)的 DFT， 得到 X(k)=DFT［ x(n)] 利用对称性，有 DFT[x1(n)]= Xep(k) =[X(k)+X*(Nk)]/2 DFT[x2(n)] =Xop(k) = j[X(k)X*(Nk)]/2 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 例如 3( ) c o s ( ) s in ( )33jnf n n j n e   令 2211()3600()( ) 0 16NNNj n j k n j k nNNnnF k e e eNN k k N        ( ) c o s ( ) , ( ) s in ( )33x n n y n n求 两序列的 DFT。 由 DFT对称性， **1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]21[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]2D F T x n F k F N kD F T y n j F k F N k     第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 取 N=6 ( ) 6 ( 1 ) 0 , 1 , 2 , ..., 5F k k k  k 0 3 5 F(6k) k 0 3 5 F(k) 1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]23 [ ( 1 ) ( 5 ) ]D FT y n j F k F N kj k k       0 , 1 , 2 , ... , 5k 1[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]23 [ ( 1 ) ( 5 ) ]D FT x n F k F N kkk     第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 例已知实序列 x(n)的 8点 DFT的前 5个值为 , , 0, , 0。 （ 1）求 X(k)的其余 3点的值； （ 2） （ 3） 1 8 1 1( ) [ ( 5 8 ) ] ( ) , ( ) [ ( ) ]。 mx n x n m R n X k D F T x n      求42 2 2( ) ( ) , ( ) [ ( ) ]。 jnx n x n e X k D F T x n 求解： （ 1） *( ) [ ( ) ] ( )x n D FT x n X N k  是 序 列即， *( ) ( )X N k X k***( 7 ) ( 1 ) 0. 12 5 0. 30 18( 6) ( 2) 0( 5 ) ( 3 ) 0. 12 5 0. 05 18X X jXXX X j    第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X （ 2） 1 8 8 8( ) [ ( 5 8 ) ] ( ) ( ( 5 ) ) ( )mx n x n m R n x n R n      2 5811( ) [ ( ) ] ( )jkX k D F T x n e X k2 2 8 8( ) [ ( ) ] ( ( 1 ) ) ( )X k D F T x n X k R k  （ 3） 2 842 ( ) ( ) ( )jn jnx n x n e x n e第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 一、离散傅里叶变换（ DFT）的定义及与 Z变换、序列傅里叶变换（ DTFT）、离散傅里叶级数（ DFS）的关系。 210( ) [ ( ] ( )N j k nNnX k D F S x n x n e   k210( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , . . . . . . , 1N j k nNnX k D F T x n x n e k N    DFT 1010( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( )NnnNj j nnX z Z T x n x n zX e DT FT x n x n eZ变换 DTFT DFS 、 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X ~( ) ( )( ) ( ) ( )mNX k X k m NX k X k R k  2( ) ( ) , 0 1jkNzeX k X z k N  2( ) ( ) , 0 1jkNX k X e k N    DFT隐含周期性 关系： 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 二、 DFT的基本性质： 基本概念： 循环移位、有限长共轭对称和有限长共轭反对称 性质和定理： 线性、循环移位定理、循环卷积定理、共轭对称性 循环卷积的计算 第 3章 离散傅里叶变换 (DFT) X 例：求 和 的 8点循环卷积 x(n)。 n x1 (n) 0 1 2 n x2 (n) 0 1 2 3 1 ( ) ( ) ( 2)x n n n  24( ) ( )nx n e R n811 2 1 8 20( ) ( ) ( ) [ ( ( ) ) ( ) ] ( )Nmx n x n x n x n m x m R n   1e1 1 3e2em x1 (m) 0 1 2 m x1 ((m))8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 m x1 ((m))8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 x1 ((1m))8 m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 x(0)=1 x(1)=e1 m x2 (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 1e1 3e2ex1 ((2m))8 m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 x(2)=1+e2 x1 ((3m))8 m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 x(3)=e1+ e3 x1 ((4m))8 m 0 1 2 3 4 5 6 7。