21多项式插值

21多项式插值内容摘要：

1P2P)(2 xL第二章 插值与拟合 例 3 设 f (x)=lnx,并以知 f (x)的数据如表 21。 . .)()!1()( 11 xnMxR nnn  lnx x 表 21 试用三次 Lagrange插值 多项式 L3(x)来计算 ln()的近似值并估计 误差。 F(x)=lnx 函数图象 第二章 插值与拟合 解 用 和 作三次Lagrange插值多项式 L3(x) ，把 x= L3(x) 中，得 由于 , 210  xxx5 0 9 9 7 )(3 L x, 34)(m a x  xfx利用余项估计式 ()可以得到 In()的真值为 ，由此得出 R3 ()=。 这个例子说明，估计式 ()给出了一个较好的估计。 0 0 )(3 xR第二章 插值与拟合 （ 1）插值多项式的 存在唯一性 （ 2）拉格朗日插值多项式的 构造 (过程 )以及误差估计（证明）。 （ 3）会利用线性和抛物线插值计算函数在某些点的近似值和误差。 拉格朗日插值 ——采用插值基函数的线性组合来构造插值多项式 含义直观 形式对称 优点： 缺点： 计算量大 编程 : 例题 3 第二章 插值与拟合 ttxxxxjkj j = 0, … , k 1, k + 1, … , n 输入 ( xi,yi) , n i = 0,1 , … ,n 0  y 0  t 1 =t k = n ? 输 出 y y+t  yk  y k +1  k n y 拉格朗日插值算法实现 第二章 插值与拟合 均差和 Newton插值多项式 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li(x) 都需要重新计算。 能否重新在 Pn中寻找新的 基函数。 希望每加一个节点时， 只附加一项 上去即可。 第二章 插值与拟合 下面主要讨论 ● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点的 Newton插值公式 第二章 插值与拟合 由线性代数知 ,任何一个不高于 n次的多项式 , 都可以表示成函数 )())((,),)((,1 110100  nxxxxxxxxxxxx 的线性组合 , 也就是说 , 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n) 的 n次插值多项式 , 写成如下形式 )())(())(()( 110102020  nn xxxxxxaxxxxaxxaa 其中 ak (k=0,1,2,…, n)为待定系数 ,这种形式的插值多项式称为 Newton插值多项式。 我们把它记为 Nn(x)即 )())(())(()()( 110102020  nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxN 1. Newton插值多项式的构造 第二章 插值与拟合 它满足 其中 ak (k=0,1,2,…,n )为待定系数，形如上式的 插值多项式称为 牛顿 (Newton)插值多项式。 )())(()()( 1101   nnnn xxxxxxaxNxN  因此，每增加一个结点， Newton插值多项式只增加一项，克服了 Lagrange插值的缺点。 第二章 插值与拟合 01 ( ) , ( 0 , 1 , , ), , , ?n i inN x y i na a a问 题 : 如 何 由 插 值 条 件确 定 其 中 待 定 系 数0 0 0 0, ( ) .nx x N x a f  当 时101 1 0 1 0 1 110, ( ) ( ) .n ffx x N x a a x x f a xx       当 时 ， 推 得)())(())(()()( 110102020  nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxN 第二章 插值与拟合 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 22 0 1 02 0 1 0221, ( ) ( ) ( ) ( ) .nx x N x a a x x a x x x x ff f f fx x x xaxx       当 时 ，推 得. .,3差商定义的一般表达式，引进为写出系数依此递推得到 kn aaa 自变量之差和因变量之差之比叫 差商 第二章 插值与拟合 2. 差商（均差的定义及性质） 已知 y = )(xf 函数表 )()()()( 1010nnxfxfxfxfxxxx),( jixxji  当)(xf则 在      nn xxxxxx ,, 12110 上平均变化率分别为：   ,)()(,010110 xxxfxfxxf   ,)()(,121221 xxxfxfxxf  .)()(,111 nnnnnn xxxfxfxxf，即有定义： 定义为 f(x) 的差商 ）（ 第二章 插值与拟合 定义 函数 y= f(x)在区间 [xi ,xi+1]上的平均变化率 iiiiii xxxfxfxxf111)()(],[ 称为 f(x)关于 xi , xi+1 的一阶差商 ,并记为 f[xi ,xi+1] 第二章 插值与拟合 iiiiiiiii xxxxfxxfxxxf212121],[],[],[01102110],[],[],[xxxxxfxxxfxxxfmmmm  m阶差商 二阶差商 第二章 插值与拟合 f [xi , xj , xk]是指 f[xi , xj , xk]= f[xj , xk] f[xi , xj ] xk xi 一般的 ,可定义区间 [xi, xi+1 ,…, xi+n]上的 n阶差商为 ininiiiniiiniii xxxxxfxxxfxxxf],...,[],...,[],...,[ 11211021021210],[],[],[xxxxfxxfxxxf例如：差商的性质 第二章 插值与拟合 (0 阶差商 ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 k 阶差商 ix0x1x2x3x4xkx)( ixf)( 0xf)( 1xf)( 2xf)( 3xf)( 4xf)( kxf],[ 10 xxf],[ 21 xxf],[ 32 xxf],[ 43 xxf],[ 321 xxxf],[ 210 xxxf],[ 432 xxxf],[ 3210 xxxxf],[ 4321 xxxxf],[ 10 kxxxf ],[ 12 kkk xxxf ],[ 1 kk xxf  差商表 计算顺序 :即每次用前一列同行的差商与前一列上一行的差商再作差商。 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] 0 0 2 8 3 27 5 125 6 216 402 08 1923 827 4935 271 25 9156 1 252 16 503 419 1025 1949 1436 4991 105 510 126 1014 例 1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解 : 计算得如下表 第二章 插值与拟合  nk nkkkkkkkknkiiikknk kknxxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxf0 11100010)())(())(()()()()()(],[ 其中这个性质可用数学归纳法证明 性质 1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可由 函数值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的线性组 合表示 , 且 第二章 插值与拟合 . ,][][][][],[ ,1 . :011100010110 命题成立时当数学归纳法证明xxxfxxxfxxxfxfxxfk  mmjj mjjjjjjjmmmj mjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010 111010 )())(()()(],[ )())(()()(],[ , ,1和即命题成立时设第二章 插值与拟合  1102001],[],[],[  mmmmmm xxxxfxxxfxxfm知阶差商定义和上面两式由  mmjj mjjjjjjjmmmj mjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010 111010 )())(()()(],[ )())(()()(],[ , ,1和即命题成立时设第二章 插值与拟合 12101112020 1211011)()()( 1)()()( 1)())(()(11)(   mmmmmmmmmmmmmj mmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf. . )())(()()(0 110归纳法完成时命题成立于是，当 mkxxxxxxxxxfmj mjjjjjjj   第二章 插值与拟合 f[x0 , x1]= f[x1 , x0] f(x1) f(x0) x1 – x0 f(x0) f(x1) x0 – x1 = 性质 2 差商具有对称性 ,即。