1基本概念2输入过程和服务时间分布3几个排队模型4排队

1基本概念2输入过程和服务时间分布3几个排队模型4排队内容摘要：

12()k k j j j kTT        其中 k为非负整数 . 例如某排队系统有并联的 k个服务台 , 顾客流 为 Poisson流 ， 规定第 i, k+i, 2k+i, … 个顾客排入第 i 号台 (i=1, 2, … , k), 则第 k台所获得的顾客流 , 即为 k阶 Erlang输入流 , 其他各台 , 从它的第一个顾客到 达以后开始所获得的流也为 k阶 Erlang输入流 . . 排队系统每次到达的顾客不 一定是一个 , 而可能是一批 , 每批顾客的数目 n是一 个随机变量 , 其分布为 : (二 )服务时间分布 . 每一个顾客的被服务时间都是常 数 ， 此时服务时间 t的分布函数为： . 各个顾客的被服务时间相互独 立 , 具有相同的负指数分布 , 分布函数为 { } ,kP n k a 0 , 1 , 2 , k 1 ,。 ( ) ( )0 , .xB x P t xx   xe xBx x1 , 0。 () 0, 0,   其中 0为一常数 ， 服务时间 t的数学期望 1/ 为平 均被服务时间 . 3. k阶 Erlang分布 . 每个顾客的被服务时间相 互独立 ， 具有相同的 Erlang分布 , 密度函数为 其中 0为一常数 ， 平均服务时间为 当 k=1时 , Erlang分布化归为负指数分布 . 当 k→∞ 时 ， 得到长度为 1/的定长分布 . 1()( ) , 0 ,( 1 ) !kkxk k xb x e xk01( ) ( ) .E t x b x d x(三 )排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要 运行指标的概率规律 ， 即研究系统的整体性 质 ， 然后进一步研究系统的优化问题 . 与这 两个问题相关的还包括排队系统的统计推断 问题 . 状态下的概率分布及其数字特征 ， 了解系统 运行的基本特征 . . 建立适当的排队模型 是排队论研究的第一步 ， 建立模型过程中经 常要考虑如下问题：检验系统是否达到平稳 状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独 立性；确定服务时间的分布及有关参数等 . ,又称为系统控制问题或 系统运营问题 ， 基本目的是使系统处于最优 或最合理的状态 . 系统优化问题包括最优设 计问题和最优运营问题 , 例如有最少费用问 题 、 服务率的控制问题 、 服务台的开关策 略 、 顾客 (或服务 )根据优先权的最优排序等 方面的问题 . 排队系统的一般决策过程： ① 根据已知条件绘制状态转移速度图。 ② 依据状态转移速度图写出各稳态概率之 间的关系。 ③ 求出 P0 及 Pn。 ④ 计算各项运行指标。 ⑤ 用系统运行指标构造目标函数，对系统 进行优化 . 三 . 几个 排队模型 (一 ) M/M/n/n排队模型 • 顾客到达的间隔时间 —— 负指数分布，参数为  • 顾客接受服务的时间 —— 负指数分布，参数为  • 系统有 n个服务台 • 系统最多容纳 n个顾客 系统的状态空间 En{ 0, 1 , 2, , }1. M/M/n/n状态转移 图 0 k1 2 1 k       2 3 (k1) k n1 n   n  (n1) 2. 稳态概率之间的关系 (令 ,称为系统 负荷水平或强度 ) 对 0状态 , 有 故 对 1状态 , 有 故 对 k1状态 , 有 故 对 n1状态 , 有 故 正则条件 pp01,1pp1 1 0。 pp122, p p 2120。 2!kkp k p1 , kkp p k 1 0。 !nnp n p1 , nnppn1 0 .!nkk p0 1.  3. 求出平稳分布 knkkkpkp p k nk110010,!, 0 .!   4. 运行指标 (1) 系统损失概率 nl os t np p pn 1 0 .!(2) 单位时间内平均损失的顾客数 nlo st np p pn10 .!  (3) 有效平均到达率    e lo s t npp1 1 .     (4) 占用服务台的均值  kkn n ns e r v e kk k knenL kp p pkkppn1110 1 00 1 011 0 1( 1 ) ! !1 1 .!           显然 (5) 顾客在系统中平均逗留时间 根据 Little公式可得 即等于顾 客的平均被服务时间 . (6) 服务台的效率 sseLW 1 ,s s e r v eLL .se rv eLn .  例 1 某计算机有 5个终端 , 用户按 Possion 流到达 , 平均每分钟到达 , 每个用 户平均用机时间为 15分钟 , 用机时间服从负 指数分布 , 当 5个终端被占用时 , 后来的用户 只能到其他计算机处接受服务 . 求系统的运 行指标 . 解 这是 M/M/5/5排队模型 .平均到达率 =12户 /小时 , 平均服务率 =4户 /小时 , 系统 强度 . 1 3 (1) 系统损失概率 lostpp15 2 3 4 553 3 3 3 31 3 10 1。 5 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !       (2) 每小时内平均损失的用户数 lo s tp 1 2 0 .1 1 0 1 1 .3 2 1 2    ；(户 ) (3) 用户有效平均到达率  e 1 2 1 0 . 1 1 1 0 . 6 7 8 8。     (户 /小时 )。