课程设计---hermite插值法的程序设计及应用(编辑修改稿)

课程设计---hermite插值法的程序设计及应用(编辑修改稿)内容摘要：

 n0j )()( jxxxw.由此可得到三阶 Hermite 插值多项式的误差为： ,)()(!4 )()()()( 212043 xxxxfxHxfxR    在 0x 与 1x 之间 . 167。 Hermite插值其他情形 已知函数表： x 0x 1x … mx … nx y 0y 1y … my … ny 6 y 0y 1y … my 求一个插值多项式 ,使其满足条件数表 .该问题中，导数个数与函数值个数不相等 .我们称之为 Hermite 插值中其他情形 .在此简介 NewtonHermite 插值法构造插值多项式 . 先分析插值条件的个数： 2mn 个，那么，所构造的多项式的次数一般不能超 1mn .于是，按牛顿差值的思想，可设 )。 ())(()( ),()()()( 101 1 nn nmn xxxxxxx xxPxNxH     其中， )(xNn 为 n 次牛顿差值多项式。 )(xPm 为待定的次数不超过 m 次的多项式 . 显然 ： nixfxNxH iini ,2,1,0),()()(  为确定 )(xPm ，对 )(xH 求导： )()()()()()( 11 xxPxxPxNxH nmnmn    根据插值条件 )()( ii xfxH  ，有 )()()( )()()()()()( 1 11 inimin iniminimini xxPxN xxPxxPxNxH      得到 mix xNxfxP in iniim ,2,1,0,)( )()()( 1    于是，把求 )(xPm 的问题转化为又一个插值问题 已知 )(xPm 的函数表 x 1x 2x … mx )(xPm )( 1xPm )( 2xPm … )( mm xP 确定一个次数不超过 m 的插值多项式 )(xLm ，使其满足 )()( imim xPxL  . 根据牛顿差值公式 . )())(](,[)](,[)()( 10000100  mmmmmm xxxxxxxxPxxxxPxPxP  7 将上式带回，即得到满足条件。 ,2,1,0),()(。 ,2,1,0),()(mkxfxHnkxfxHkkkk 的 NewtonHermite 插值 多项式 . 例 已知函数表： x 0x 1x y 0y 1y y 039。 y 求一个插值多项式 H (x)，使其满足条件： ),()(),()(),()( 001100 xfxHxfxHxfxH  该问题中，导数个数与函数值个数不相等 .我们称之为 Hermite 插值中其他情形 .在此简介 NewtonHermite 插值法构造插值多项式 . 先由函数表 x x0 x1 y y0 y1 作线性插值，即为   01001 ,)()( xxxxfxfxP  再注意到 H (x)与 P1 (x)在节点 x0, x1上函数值相同，即： 11110010 )()( )()( yxPxH yxPxH   于是，它们的差可以设为 ))(()()( 101 xxxxKxPxH  其中 K 为待 定常数，上式又可记为： ))(()()( 101 xxxxKxPxH  (13) 为确定 K ,对上式求导： )()()( 101 xxxxKxPxH  8 令 x = x0，代入上式，并且注意到插值条件 00)( yxH  得：   0101010010 )(,)()()( yxxKxxfxxKxPxH  于是有  01010 xx yxxfK   将上式代入（ 13）得   ))(()()( 10010101 xxxxxx yxxfxPxH       ))(()(,)( 1001 0100100 xxxxxx yxxfxxxxfxf   (14) 可以验证（ 14）所确定的 H(x)确实满足插值条件（ 11） .同时也可以看到，构造牛顿 —— 埃米尔特插值多项式，完全采用牛顿插值的构造思想 . 最后，也可以把（ 14）式整理成拉格朗日形式： 1001 112010001101010 )()( yxxxx xxyxx xxyxx xxxx xxxxxH      插值余项为    120)3(2 !3 )()( xxxxfXR  ，  在 0x 与 1x 之间 . 9 第二章 Hermite 插值的 Matlab 实现 167。 导数完全情形 Hermite 插值的 Matlab 实现 在实际应用中，应用最广也是最简单的 Hermite 插值情形即为导数完全的情况下， Hermite 插值多项式的拟合 .我们首先讨论该情形下的 Matlab 程序 . 在给出程序之前，我们首先给出该公式所应用的 Hermite 插值公式 . 定理 设在节点 bxxxa n  21 上， ,)( ,)( jj jj yxf yxf  , 其中 nj1 ， 则函数 )(xf 在结点处 nxxx , 21  处的 Hermite插值多项式为   ni iiiiii yyyaxxhxy 1 ])2)([()( 其中   nijj jiinijj jiji xxaxx xxh1211。 )( . 该定理的证明详见 文献 . 该情形下对应的 Matlab 程序及流程图详见附录 B . 为验证该程序的正确性与有效性，下面给出例 . 例 设有如下数据表 : x 0 1 2 3 )sin(xy 0 )cos(xy  1 在 Matlab 工作台输入如下命令： x0=[0,1,2,3,]。 y0=[。