浅谈均值不等式在生活中的应用价值(编辑修改稿)

浅谈均值不等式在生活中的应用价值(编辑修改稿)内容摘要：

修大学数学 毕业论文 (设计 ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 5 页（共 10 页） 费为第一年 2 千元 ,第二年 4 千元„„依每年 2 千元递增 ,问该设备使用多少年报废最合算 ?(使用多少年平均费用最少 ). 解 设该设备使用 x 年报废，前 x年的平均费用为 y 万元 . 由题知，每年的使用费及维修费总和构成首项为 公差为 的等差数列，有等差数列求和公式得，前 x 年的总使用费及维修费为 xx  元， 则前 x 年的平均费用为 )0( 2 xxxxxx xxy 当且仅当 xx  即 10x 时， 3miny . 因此，该设备使用 10年报废最合算 . 在这个解题过程中，除了应用等差数列求和的有关知识，还应用了均值不等式求最值，即 abba 2 . 例 5 围建一个面积为 2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用的旧墙需维修 )，其他三面围墙要新建，在旧墙对面 的新墙上要留一个宽度为 m2 的进出口，如图所示 .已知旧墙的维修费用为 45 元 /m ，新墙的造价为 180元 /m .设利用 的旧墙长度为 x (单位： m )，修建此矩形场地围墙总费用为 y (单位：元 ). )1( 将 y 表示为 x 的函数； )2( 试确定 x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 . 解 )1( 如图 2，设垂直于墙的一边为 am ， 则 axxy 21 8 0)2(1 8 045  360360225  ax ， 由已知 360ax , 得 xa 360 ， 所以 图 2 )0(360360225 2  xxxy . 图 2 )2( 因为 0x ， 所以 10 8003602252360225 22  xx ； 大学数学 毕业论文 (设计 ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 6 页（共 10 页） 故 1044036010800360360225 2 xxy； 且仅当 xx 2360225  时，等号成立 . 当 mx 24 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440元 . （三）应用均值不等式处理决策判断类问题 众所周知，商界竞争激烈，很多时候都要面临着选择，为企业的生存和发展披荆斩棘 .合理的决策将有利于企业的立足和发展 ,如果不合理，企业必将亏损，甚至有可能直接导致企业的破产，所以企业在策划这方面时 ,应该运用均值不等式检测是否合理 . 例 6 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中 0qp ， 次 方案 第一次提价 第二次提价 甲 p % q % 乙 q % p % 丙 2qp % 2qp % 经两次提价后，哪一种方案的提价幅度最大。 为什么。 分析 均值不等式也可以用在价格方面，比如成本价和销售价之间的关系如何平衡才能使利润最大，这是基本所有商人都追求的 .本题就是借助均值不等式来解决此类问题的 . 解 根据判断丙方案的提价幅度最大，理由如下： 设原价为 a 元，那么请看两次提价后的价格分别为 甲方案 %)1% )(1( qpa  元； 乙方案 %)1% )(1( pqa  元； 丙方案 2%)21( qpa  元 . 显然甲乙方案提价后的价格一样，所以提价幅度一样，所以只要比较甲丙两个方案 . 用作差法得到结果如下： 2%)21(%)1%) (1( qpapqa  )%)2()%(1%%%%1( 2qpqpqpqpa  )%)2(%%( 2qpqpa  , 因为 大学数学 毕业论文 (设计 ) _______________________________________________________________________________________________________ 第 7 页（共 10。