矩阵在求递推数列通项中的应用毕业论文终稿

矩阵在求递推数列通项中的应用毕业论文终稿内容摘要：

  （ ）（ ） 111 1 0 0nTJ T B TJ T B 由 nB 我们很容易求出 nx。 例 3 在数列 nx 中，有 12= =1xx， 且 21 + 6 + 5 ( 1 , 2 , 3 )n n nx x x n ，,求 nx 的通项。 解：令 211165n n nnnx x xxx    取 1610A 0 50B  2 60EA       得 1232 ， ,即 A 有两个不相等的特征根。 韩立华 :矩阵在求递推数列通项中的应用 第 7 页 共 18 页 当 1 3 时， A 的特征向量为 62 当 2 2 时， A 的特征向量为 21 令 6221T  则 1 1212610T    1111 16 2 1 2 1301 2 1 2 6 110 0 ( 2 )nn nT J T B                  11 11 1 2 12 3 ( 2 ) 2 6 11 0 1 0 6 3 4 ( 2 )nn nn                          21100 213 1 06 2 1 2 512 1 2 6 010 0 ( 2) 1niiniiT J T B                 11 110 2510 5 3 ( 2)33nn      1 1 1 1 1 11 1 0 2 5 1 1 1 1 56 3 4 ( 2 ) 5 3 ( 2 ) ( 2 ) 31 0 3 3 1 5 1 0 6n n n n n nnx                        利 用矩阵的方法求线性循环数列的通项公式 设 k 阶线性循环数列 nx ，满足循环方程 1 1 2 2 + 1 , 2n n n k n kx a x a x a x n k k       ， 其中 1,2,iai（ ） 为常数 ,且 0ka .求数列 nx 的通项。 方程组 1 1 2 2112211+,.n n n k n knnnnn k n kx a x a x a xxxxxxx        ，韩立华 :矩阵在求递推数列通项中的应用 第 8 页 共 18 页 可表示为 矩阵形式11 2 112211 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 nnkkn k n kn k n kxxa a a axx                              (1) 令 1121=nnnknknkxxxx 1 2 1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 kka a a aA 121=nnnknknkxxxx 则 (1) 式写成 1n k n kA   由上式递推得 21 1 1nkn k n k n kA A A           于是 nx 就归纳为求 1nk ,也就是求 nkA 例 4 对于数列 nx ，如果已知 1 2 31, 2, 3x x x  ,并且通项 nx 满足 1 2 322n n n nx x x x    则求通项公式 nx。 解：因为数列 nx 是 3 阶线性循环数列，则方程组 1 2 3112222n n n nnnnnx x x xxxxx     矩阵形式 112232 1 21 0 00 1 0nnxx                 令 2 1 21 0 00 1 0A,由上式递推关系得 331212=nnnnxxx A xxx               。 由 322 1 21 0 2 2 001EA           ,求得 1 2 3=1 =1 = 2  ， ，韩立华 :矩阵在求递推数列通项中的应用 第 9 页 共 18 页 则 1 2 3  ， ， 对应的特征向量分别为1 2 31 1 41 1 21 1 1P P P                            ， ， 令  1 2 31 1 41 1 21 1 1P P P P　 　 ，则 113 3 6 1 0 011 3 2 0 1 062 0 2 0 0 2P A P P                  ， 33 1 331 0 0 1 1 4 1 0 0 3 3 610 1 0 1 1 2 0 ( 1 ) 0 1 3 260 0 2 1 1 1 0 0 2 2 0 2nnnnA P P                                           3 3 32 1 2 2 13 2 3 3 23 +( 1) 2 3 3 ( 1) 6 + 2( 1) 21 3 +( 1) + 2 3 3 ( 1) 6 + 2( 1) 26 3 +( 1) + 2 3 3 ( 1) 6 + 2( 1) 2n n n n nn n n n nn n n n n       所以，通项公式为  3 3 33 2 131 3 + ( 1 ) 2 + 3 3 ( 1 ) + 6 + 2 ( 1 ) 262 1 1 2 = + ( 1 )3 6 3n n n n nnnnx x x x               韩立华 :矩阵在求递推数列通项中的应用 第 10 页 共 18 页 3 矩阵在求分式线性递推数列通项中的应用 分式线性递推数列不仅难度系数 大，而且又是考察的重点。 下面就是应 用 矩阵、特征根 等理论 来解决 这类 分式递推数列 的 问题，这类方法 会使其变 得简单而有趣。 、特征向量求分式线性递推数列的通项公式 在求 分式。