影院座位设计建模论文

影院座位设计建模论文内容摘要：

取到  时所有观众的平均满意程度最大。 问题 3 的模型建立与求解 问题 2 中求得的最优解中， 第一排的 a r c t a n( ) 14Hcd   ，超过了条件中的 30 ，因此改进计划中第一要解决的就是使  角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高  角的平均值。 引理 竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。 动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。 证明见附录 二。 于是似乎地板线设计成水平面，高度为 2hH ，即屏幕的垂直平分线，这样所有点的视 角都最大。 但实际上某人的视角范围内里有其他人时，视角就要减小，如上述水平面，只有第一排观众视角最大，其它排的视角为其一 半，若考虑眼睛到头顶的高度，则视角更小。 可见，第 一 排观众的 视 高 不能超过屏幕下边缘的高度，否则后面的人就会被挡住。 也就是说座位 （考虑人的视高）的平均高度 要尽量接近屏幕的中垂线，且要尽量防止前排观众挡住后排观众的一部分视线（可通过增加排间高度差来实现）。 这正好验证了第 2 问的结论，地板线倾 角时，平均视角最大，因为这样才能使所有的点距屏幕中垂线最近。 那么如何进一步提高观众的满意度呢。 考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排 高度的措施。 由题， 各排的排 间高度差相等时，则 观众眼睛连线 为直线。 如果考虑到人的眼睛到头顶的距离（按照平均水平并理想化，这个距离给定为 ），若后排不被前排挡住视线（理想简化模型，不考虑靠后的座位视角下边被前排遮挡的情 8 况），则地板线倾角应当至少为 rc ta n    .经过进一步分析，平均视角最大的情况只可能在一下条件下发生：（ 1）最后一排观众的视高在 ()2hHH范围内变化；（ 2）地板线倾角在 范围内变化。 因此，我们在这两个条件的约束下求解最优解。 设最后一排的坐标 ( , )DDy ，列出直线方程 ： ta n ( )Dy y x D d   ，于是 ，观众眼睛的位置可以表示为： ( , ( ) ta n )Dx x D d y  。 我们利用 C语言进行搜索（具体程序见附录三），求出最大平均视角 ， 5Dym ，倾角 .座位安排的示意图如下： 在直线阶梯状的基础上充分考虑到  ，  的限制因素， 平均满意度主要取决于视角  和仰角  ，把每一排的  相加再除以 n 就得到  ，把 每一排的  相加再除以n 就得到  ，于是我们就得到下列关系式： 11( , )niiniinfn  为了保证第 k 排座位所在的位置应高于第 1k 排座位所在的高度 ； 前一排的观众不会挡住后一排 ，同时满足 观众的视线视角尽可能大 ,即眼睛的位置应尽可能分布在 垂直平分线 的附近 ，且 仰角 大 的座位所占的比例尽可能 小。 因此，对原直线模型各排的座高 尽可能改进到视角尽可能大，现设计如下模型： 9 2 ( ( 1 ) c o s )ta n ( ( 1 ) c o s ) ( ( 1 ) c o s ta n ) ( ( 1 ) c o s ta n )h k l dk l d k l H c k l H h c                运用第一问中的三个模型分别探讨第二问要就的  值 ，使观众的平均满意度S 最大。 由平均座高  的最大值为 176。 5 1. 1a rc ta n 15 .0   只有未知量  ，且 176。 0  ， 其中 在直线模型的基础上，不改变第一排及最后一排的位置，为达到平均视角最大，仰角较小，对中间各排座位的高度进行一下调整，设计趋近直线型的抛物线递增型，且其导函数递减型的座高模型，以提高平均视角，即进一步提升观众的满意度， x 分别为 0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且有曲线上的点（ 0,）、（ ,）、（ ， 5） 通过曲线的二次拟合给定抛物线形如图所示。 （程序见附录四） 2 1 1 2 176。  平均满意度最大的地板线 设计改进后的地板线 10 5 . 1 5 4 . 9 4 . 8 4 . 7 4 . 6 4 . 5 4 . 4 4 . 3 4 . 2 4 . 1 1 5 1 050 得到的拟合二次函数的表达式为： 20 . 0 0 7 3 0 . 1 6 1 8 4 . 1 9 4 0y x x   . 易得此时观众的平均视角得到进一步提升，仰角在条件范围内的区域增大，即观众满意度得到了进一步提升。 6．模型结果的分析与检验 我们可以看到，我们的模型中有许多结合实际考虑的部分，例如考虑到实际座位前后间隔，和实际中前排观众对后排观 众视角的影响等。 这样的 考虑，使得我们的模型具有了一定的实际运用价值以及更加好的合理性。 对问题一，我们可设计如下模型进行结果的检验 )t a n)(t a n()( )(a r c t a nm a x 2 chHxcHxdx dxh      ta nta n33330.. cHxdcHdDxts 对问题二，我们可做如下算法设计 进行结果的检验 11 （ 1） 让地板线 倾角θ在 ]20,0[ 0 内逐一取值，步长为。 （ 2） 让 x 在 [,19]内逐一取值，步长为。