矩阵可对角化的判定条件及应用毕业论文

矩阵可对角化的判定条件及应用毕业论文内容摘要：

最小多项式 )(m 无重根， A 的任意特征根i 只能是 )(m 的单根，于是 )(m 与 2)( i 的最大公因式等于 i ，由最大公因式的性质知，有 ][)(),(  VU ，使 )())(()()( 2 iiVmU   IAAAVAmAU ii   2))(()()( 因 0)( Am ，故 )())(( 2 IAAAV ii   ， 2)()( IAIA ii   秩秩 ，但)()( 2 IAIA ii   秩秩 ，故定理 成立 . 充分性：用反证法，设 A 的某个特征根 i 是最小多项式 )(m 的重根，可设 )())(( 2  gm i  因多项式 )()(  gi 次数低于 )(m 次数，故 0)()(  AgIA i 但 0)()()(  AmAgIA i 又 0)( Ag ， )(Ag 必存在非零向量 0X ，使 0)(,0)( 020  XIAXIA ii  不同解，故 2)()( IAIA ii  秩 与定理 矛盾，故 )(m 无重根，从而 A 与对角矩阵相似 . 最小多项式法 通常情况下，对一个 n 阶矩阵能否对角化一般是考虑它是否有 n 个线性无关的特征向量，往往比较复杂。 这里利用最小多项式给出一个矩阵可对角化的一个条件，希望达到更简洁、实用的目的 . 首先，给出一条已知结论： n 阶矩阵 A 是其特征多项式的根，即有： 0)( AfA . 由此对任何矩阵 A 至少存在一个非零的多项式 )(f 使得 0)( AfA ，我们把具有这种性质的多项式，叫 A 的零化多项式 . 显然， A 的零化多项式不止一个，如)(f 的任一倍式 )()(  fg ，都是 A 的零化多项式 . 现定义，在 n 阶矩阵 A 的零化多项式中，次数最低且首项系数为 1的多项式，叫做 A 的最小多项式，记为 )(Am . 下面给出零化多项式与最小多项式的关系： (1) )(f 是 n 阶矩阵 A 的零化多项式， )(Am 是 A 的最小多项式，则 )(|)(  fmA ，特别的 )(|)(  AA fm ； (2)设 A 是一个 n 阶矩阵， )(d 是 )( AI 中所有元素的最大公因式，则有)( )()(  dfm AA ； (3)n 阶矩阵 A 可对角化  A 的最小多项式无重根 . K上 的 n 阶方阵 A 是否可对角化的步骤 第一步： 先求出 A 的全部特征根； 第二步： 如果 A 的特征根都属于数域 K ，那么对每一个特征根  ，求出齐次线性方程组 000)( 21nxxxAI 的一个基础解系； 第三步： 对于每一个特征根来说，相应的齐次线性方程组在 K 上的基础解系所含解向量的个数等于它的重数，那么 A 可以对角化 .以这些解向量为列做一个 n 阶矩阵 P ,则 P 是可逆矩阵，且 APP1 即为对角形矩阵 .该对角形矩阵主对角线上的元素作为 A 的全部特征根与矩阵 P 的列向量作为 A 的特征向量是相对应的 . 如果 A 的某个特征根不在 K 中，或 A 的全体特征根都在 K 中，但有一个特征根  的代数重数不等于几何重数，那么在数域 K 上不能对角化 . 对于阶数较低的矩阵是否可以对角化，我们给出下面这种判别方法： 定理 设 s , 21 是 A 在数域 K 上的全部互 不相同的特征值 .作多项式 )())(()( 21 sxxxxg    则 A 在 K 上可以对角化的充分必要条件是 0)( Ag ，即 (1)若 0)())(( 21  IAIAIA s ，则 A 可以对角化； (2)若 0)())(( 21  IAIAIA s ，则 A 不可以对角化 . 利用特征值求行列式的解 对于具体给出的行列式，常利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，以期新的行列式中出现较多的零元素，从而化为三角行列式直接写出其值或按行 (列 )展开降低行列式的阶数 .若抽象矩阵可对角化 ，求其行列式有简单方法 . 例 设 A 是 n 阶方阵 2,4,...,2n 是 A 的 n 个特征值， I 是 n 阶单位矩阵，计算行列式 |3| IA 的值 . 解：已知 n 阶方阵 A 有 n 个互异的特征值，故存在可逆矩阵 P 使得 APP1 =B =diag(2,4,...,2n ). 于是 |3| IA =|P 1 | |3| IA |P |=|P 1 (A 3I )P |=|P 1 A P 3P 1 P | =|B 3I |=|diag(1,1,...,2n 3)|=1135...(2n 3). 例 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1， 1,2，设矩阵 B = 23 5AA ，试求： |。