向量的性质及在立体几何中应用毕业论文

向量的性质及在立体几何中应用毕业论文内容摘要：

 . 例 3，已知空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB,AD 的中点吧（如图 ） 求证： EF//平面 BCD 证：设 n 是平面 BCD 的法向量，连接 BD在△ ABD 中 又因为 EF 分别是 AB、 AD 的中点 所以 EF ∥ BD ,EF ＝ 21 BD A 又 n ⊥平面 BDC 所以 n ⊥ BD E F ∴ n BD ＝ 0 ∴ n ⊥ EF B D n 又 ∵ EF 平面 BDC ∴ EF∥ 平面 BDC 图 C 第三节 两平面平行 定理 ]1[ ：如果一个平面 内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 若不重合的两平面  与 β ，面  的法向量为 m ，若 m ⊥ β ,则有  ∥ β。 （证明 同 下例 4） 贵阳学院毕业论文 4 例 已知， a  β ， b  β , a ∩ b =P,a ∥  ,b ∥  .如图（ ） 证：设 n 为平面  的法向量， a b 有 n ⊥  P 因为 a ∥  ,b ∥   所以 a ⊥ n ,b ⊥ n 又 a ∩ b =P, a  β ,b  β n ∴ n ⊥ β  与 β 不重 合  ∴  ∥ β 图 贵阳学院毕业论文 5 第 三 章 求角问题 第一节 两直线所成的角 设直线 L1 和 L2 的标准方程分别为 111111 p zzn yym xx  222222 p zzn yym xx  那么，方向向量 1s =﹛ 111 , pnm ﹜与 2s =﹛ 222 , pnm ﹜之间的夹角，就是直线 L1 和 L2之间的夹角  ，于是，  可由 cos =cos ＜ 1s ,2s ＞ =222222212121212121 pnmpnm ppnnmm   ]2[ 来确定，同时，由两向量平行、垂直的充要条件可立即得到 （ⅰ）、直线 L1 与 L2 互相平行的充要条件是212121 ppnnmm  （ⅱ）、 直线 L1 与 L2 互相垂直的充要条件是 212121 ppnnmm  =0 例 已知直线 L1： 7 421 1  zyx ， L2： 131 25 6  zyx ，求 L1 与 L2 的夹角  . 解：直线 L1， L2的方向向量分别是 1s =｛ 1，－ 2,7｝， 2 s =｛ 5,1， ,1｝ 由以上公式有 cos =    222222 115721171251 = 2722 所以  =arccos 2722 例 6 ]3[ 、 求两直线 1 341 1  zyx 与 1222  zyx 间的夹角 . 解：由于两直线的方向向量为 1s =｛ 1，－ 4， 1｝， 2 s =｛ 2，－ 2，－ 1｝ 贵阳学院毕业论文 6 于是，这两条直线的夹角  ，由 cos =2121ssss =229189  确定，因此 所求的两直线的夹角为4 例 7 ]4[ 、 求直线 L1： 131 12 3  zyx 与 12 71 2 zyx  的夹角 . 解： L L2 的方向向量分别为 1r =（ 2,1，－ 1）和 2r =（ 1,2,1） 由公式得 cos =   222222 121112112112 =21 故所求的夹角为 3 第二节 求线面角 当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角  （ 0≦  ﹤ 2 ）称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面所夹角为 2 .]2[ 设直线与平面  的方程分别为 L: p ezn bym ax  , s =｛ m, n, p｝ 贵阳学院毕业论文 7  ： 0 DCzByAx , n =｛ A,B,C｝ 过直线 L作与平面  垂直的平面与  的交线 L ,就是直线 L在平面  上的投影直线，直线 L与 L 的夹角  ，就是直线与平面的夹角 .]2[ 直线 L 的方向向量 s =｛ m, n, p｝ ,与平面  的法向量 n =｛ A,B,C｝之间的夹角为 2或 2. 故有  ns,2 ，即有  ns,cossin  所以222222s in pnmCBACpBnAm ]2[ 由公式可得 直线 L平面  平行的充要条件是 CpBnAm  =0 直线 L平面  垂直的充要条件是pCnBmA  例 8 ]3[ 、 求直线 2 432  zyx 与平面 02  pzyx 的夹角 . 解：由于已 知直线的方向向量 s =｛ 1,1,2｝ 已知平面法向量 n =｛ 2， ,1,1｝ 于是直线与平面的夹角为  . nsnssin = 663 =21 确定，由此可得 6 贵阳学院毕业论文 8 第三节 求平面与平面的夹角 两平面的法向量的夹角 为两平面的夹角 .]3[ 设有两平面， 1 : 0111  DzCyBxA 2 : 0222  DzCyBxA 它们的法向量分别是：  1111 , CBAn  ,  2222 , CBAn  根据前面关于向量的讨论，可得出如下结论 两平面 1 ， 2 的夹角  ，可由 2121cos nn nn  =222222212121 212121 CBACBACCBBAA   ]3[ （ 1）、 两平面垂直的充分必要条件是： 0212121  CCBBAA （ 2）、 两平面平行的充分必要条件是：。