数学建模论文嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

数学建模论文嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略内容摘要：

𝑜𝑠Ψ −𝑓𝑀𝑟2 𝑑𝑣𝑧𝑑𝑡 = −𝑃𝑚𝑠𝑖𝑛Ψ 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑣𝑥 (5− 3) 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 𝑣𝑦 𝑑𝑧𝑧𝑡 = 𝑣𝑧 模型一的求解 我们利用极大值原理来求解最小燃料消耗。 在主减速阶段开始时，主发动机开始点火。 此时，制导系统的主要任务是 抵消水平的初始速度，因此可以认为航偏角为 180 度，俯仰角为小量。 可设 cosφ = 1, sinφ= 𝑘1 +𝑘2𝑡 带入式 (53)得到： 𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡 = 𝑃𝑚𝑐𝑜𝑠𝛹0 𝑑𝑣𝑦𝑑𝑡 =𝑃𝑚 (𝑘1 + 𝑘2𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛹0 − 𝑓𝑀𝑟2 𝑑𝑣𝑧𝑑𝑡 = − 𝑃𝑚𝑠𝑖𝑛𝛹0 （ 54） 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑣𝑡 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 𝑣𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑡 = 𝑣𝑡 求解得到嫦娥三号在主减速阶段的最优轨迹： 𝑣𝑥𝑓 = 𝑎𝐹𝑐𝑜𝑠𝛹0𝑡𝑟𝑒𝑚 +𝑣𝑥0 𝑣 𝑦𝑓 = 𝑎𝐹𝑘1𝑐𝑜𝑠𝛹0𝑡𝑟𝑒𝑚 + 𝑎𝐹𝑘2𝑐𝑜𝑠𝛹0(𝑡𝑟𝑒𝑚2)2 + 𝑣𝑦0 𝑣𝑧𝑓 = −𝑎𝐹𝑠𝑖𝑛𝛹0𝑡𝑟𝑒𝑚 + 𝑣𝑧0 ( 55） 𝑥𝑓 = 𝑎𝐹𝑐𝑜𝑠𝛹0(𝑡𝑟𝑒𝑚2)2 +𝑣𝑥0𝑡𝑟𝑒𝑚 + 𝑥0 𝑦𝑓 = (𝑎𝐹𝑘1𝑐𝑜𝑠𝛹0−𝑓𝑀𝑟2 )(𝑡𝑟𝑒𝑚2)2 +𝑎𝐹𝑘2𝑐𝑜𝑠𝛹0(𝑡𝑟𝑒𝑚3)6 +𝑣𝑦0𝑡𝑟𝑒𝑚 +𝑦0 𝑧𝑓 = −𝑎𝐹𝑠𝑖𝑛𝛹0(𝑡𝑟𝑒𝑚2)2 + 𝑣𝑧0𝑡𝑟𝑒𝑚 +𝑧0 其中： 𝑎𝐹=𝑃𝑚表示主发动机推力作用在嫦娥三号上产生的加速度。 𝑡𝑟𝑒𝑚表示剩余时间。 有（ 55）的（ 1）、（ 3）可以推导出剩余时间的表达式： 𝑡𝑟𝑒𝑚 =√(𝑣𝑥𝑓−𝑣𝑥)2+(𝑣𝑧𝑓−𝑣𝑧)2𝑎𝐹 （ 56） 其中： 𝑐𝑜𝑠𝛹0 = 𝑣𝑥𝑓−𝑣𝑥√(𝑣𝑥𝑓−𝑣𝑥)2+(𝑣𝑧𝑓−𝑣𝑧)2 （ 57） r=√𝑥2 + (𝑦+𝑅0)2 + 𝑧2 （ 58） 由上面近月点和远月点的速度求解可知 𝑣𝑥0 = 1693m/s， 𝑣𝑦0 = 0， 𝑣𝑧0 = 0.由于主减速阶段结束时嫦娥三号已基本位于着陆点上方，可知此时嫦娥三号的水平速度很小，不妨假设 𝑣𝑥𝑓 = 5m/s， 𝑣𝑦𝑓 = 0， 由此时嫦娥三号的速度为 56m/s可得 𝑣𝑧𝑓 =。 将以上速度带入（ 56）、（ 57）可得： 剩余时间 𝑡𝑟𝑒𝑚 = 542s 𝑐𝑜𝑠𝛹0 = 再将 𝑡𝑟𝑒𝑚、 𝑐𝑜𝑠𝛹0带入式（ 55）中的（ 4）可得： 𝑥𝑓 = 𝑥𝑓即为嫦娥三号在减速阶段的前进距离，有嫦娥三号的前进距离和起点终点的高度，根据图 1，在图中三角形中即可求得： 图 1 cosθ=,然后求得 主减速阶段的纬度偏角： θ=176。 由文献上查得嫦娥三号是从纬度低的位置减速到纬度高的位置，由于在减速阶段时间很短，忽略月球自转，嫦娥三号的经度基本不变。 则嫦娥三号的纬度 φ==。 所以嫦娥三号近月点的位置为 ，。 而远月点的位置与近月点是对称的，所以嫦娥三号远月点的位置为 ， 模型二的建立与求解 嫦娥三号在快速调整阶段的 主要任务是调整姿态，将水平方向的速度减为0， 即使主减速发动机的推力竖直向下。 由于该阶段主要是减少水平速度，可以认为该阶段的轨迹与嫦娥三号在主减速阶段的轨迹相同。 我们建立重力转弯模型[2]，将发动机的推力方向与嫦娥三号速度矢量的反方向保持一致，实现此阶段的制动减速。 因此嫦娥三号在快速调整阶段的轨迹即为式（ 55）。 有（ 55）的（ 1）、（ 3）可以推导出偏航角控制量的表达式： 𝛹∗ = 𝛹0=180176。 arctan(𝑣𝑧𝑓−𝑣𝑧𝑣𝑥𝑓−𝑣𝑥) （ 59） 下面推导俯仰角控制量，根据文献，结合（ 55），可以得到垂直方向。