矩阵特征值的求法研究毕业论文

矩阵特征值的求法研究毕业论文内容摘要：

是实的，特征方 程的根也可能是复的，而且根的多重数可以是任意的甚至可以是 n 重根。 这些根统称矩阵  的特征值。 关于特征值，有必要先集中介绍以下术语： （ 1） 称  的特征值  具有代数多重度 （ algebraic multiplicity）  ，若  是特征多项式 det( z   的  重根。 （ 2） 若特征值  的代数多重度为 1，则称该特征值为单特征值（ simple eigenvalue）。 非单的特征值称为多重特征值（ multiplicity eigenvalue）。 赣南师范学院 2020 届本科生毕业论文（设计） 4 （ 3） 称  的特征值  具有几何多重度 （ geometric multiplicity）  ，若与  对应的线性无关特征向量的个数为 。 换言之，几何多重度  是特征空间 (ull    的维数。 （ 4） 矩阵  称为减次矩阵（ derogatory matrix），若至少有 一个特征值的几何多重度大于 1. （ 5） 一特征值称为半单特征值 （ semisimple eigenvalue），若它的代数多重度等于它的几何多重度。 不是半单的特征值称为亏损特征值（ defective eigenvalue）。 一般来说，矩阵  的特征值是各不相同的。 若特征多项式存在多重根，则称矩阵  具有退化特征值（ degenerate enginvalue）。 需要注意的是，即使矩阵  是实矩阵，其特征值也有 可能是复的。 以 Givens 旋转矩阵 co s sinsin co s  为例，其特征方程 22c o s s ind e t( ( c o s ) s in 0s in c o s              然而，若  不是  的整数倍，则 2sin 0。 此时， 特征方程不可能有  的实根，即 Givens 旋转矩阵的两个特征值都为复数，与它们对应的特征向量也是复向量。 ， 矩阵 特征值的性质 及证明 性质 1 矩阵  奇异，当且仅当至少有一个特征值 。 证明 先证充分条件。 将 特征值  代入特征方程，得 det( ，从而知矩阵  奇 异。 再证 必 要条 件。 假 定 矩阵  奇异，则 det( ， 或 者等 价 写 作det( 0 ) 0。 因此，在矩阵  奇异的情况下 0 是矩阵  的特征值。 性质 2 矩 阵  和 T 具有相同的特征值。 证明 由行列式的性质：对于任何矩阵  ，恒有 det( det(    。 因此，若  是 矩阵  的特征值，则有 d e t( d e t ( d e t(                最后一个特征方程说明，  也是转置矩阵  的特征值，即矩阵  和  具有相同的特征值。 性质 3 若  是 nn 矩阵  的特 征值，则有 （ 1） k 是矩阵 k 的特征值。 （ 2）若  非奇异，则 1 具有特征值 1/。 （ 3）矩阵 2  的特征值为 2。 证明 （ 1）用归纳 法证明。 先证明对  ， 2 是 2 的特征值。 假定   u 是矩阵 的特征对，即 uu，其中， u0。 此式两边左乘矩阵  后 ，得 ((  u) u)，从而有 22( ) ( ,     u u u ) u 0u 这意味着 2(,u) 是矩阵 2 的特征对。 现在假定 1(,k u) 是矩阵 1k 的特征对，即11kk uu成立。 在此式两边左乘矩阵  ，立即有 11( ) ( ) ,k k k k     u u u u 0u 这就证明了 k 是 k 的特征值。 赣南师范学院 2020 届本科生毕业论文（设计） 5 （ 2） 因为  是矩阵  的 的特征值，故 det( ) 0。 若矩阵  可逆，则有 110 d e t( ) d e t ( ) d e t。