布朗尼蛋糕盘设计数学建模二等奖论文

布朗尼蛋糕盘设计数学建模二等奖论文内容摘要：

度分布 函数为 2t a n)]2ln ( c o s21[ 221    vA v rT v （ 4） 其中 r 为距离尖端顶点的距离，  ，  分别为 半顶角 的弧度值和角度值 ，2ln21v ，   ，平均热量分布函数 TH (5) 为简化计算，该强度是在假设尖端 温度 为 0 的条件下得到的， A 为待定常量。 考虑本文研究的是尖端，所以认为 1 ，即 。 根据式（ 4）得到尖端温度场与半顶角（用弧度表示）之间的关系，由关系式可得当  固定时， r 时 T ，r 固定时，  时 T ，当  r 时 T ，并且 0221 2t a n)]2l n ( co s21[limlimlim1 11 11 1TvAvrTT vrrrrrr a  其中 011 , Tr 为常数，且 0,0 11  r。 从上式可以得出，当  ， r 远离常数 0 时，温度 T 趋于平稳，因此平均热量分布函数 H 的大小主要取决于  ， r 在取 0 时附近的温度值。 在总热量保持恒定的前提下，可以得出： （ 1）当 00r时，温度值 T 时，总体平均热量分布 H。 （ 2）在尖端 0r 附近，如果半顶角  ，曲率  ， T 变化缓慢， H。 综上可得，当半顶角 2max  ，也就是取圆形时，曲率最小，平均热量分布函数 H 取最大。 尖端 热 效应模型 的 Matlab 仿真 通过 Matlab 仿真 [910]实现了 半顶角  固定，温度 T 与距离 r 间的变化过程，见图 4(a)。 实现了距离 r 固定，温度 T 与半顶角  间的变化过程，见图 4(b)。 实现了温度 T 与半顶角  和距离 r 两个因素间的变化过程，见图 4(c)。 1 0 . 500 . 5100 . 0 50 . 1012345x 1 016S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l dF r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e rTemperature field T 图 7(a) 尖端温度场随到角端距离的变化 00 . 20 . 40 . 60 . 811 0 . 500 . 5102468x 1 013S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l dF r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e rTemperature field T 图 7(b) 尖端温度场随着半顶角的变化 00 . 5100 . 0 50 . 1050100150200250300350400 S e m i a p e x aT i p t e m p e r a t u r e f i e l d F r o m t h e v e r t e x d i s t a n c e r Temperature field T50100150200250300350 图 7(c) 尖端温度场 温度 分布图 根据图 7(a)可知：随着到尖端的距离的增大，温度的变化趋于平稳，即温度分布相对均匀，也就是说，在尖端附近，温度的变化比较剧烈，温度分布不均匀。 根据图 7(b)可知：随着尖端角度的增大，曲率减小，温度的变化趋于平稳，即温度分布相对均匀，也就是说，在尖端角度越小时，曲率越大，温度的变化比较剧烈，温度分布不均匀。 综 上可知，距离尖端越近， 角度越小 即 曲率越大 时 ，温度分布越不均匀，反之， 距离尖端较远，角度越大即 曲率越小 时 ，温度分布越均匀 ，如图 7(c)所示。 因此可以得知：由矩形到圆形过渡的图形中，圆形的曲率最小，所以圆形烤盘边缘平均热量分布最均匀，与理论推导结果一致。 辐射传热模型 验证结果 为了验证尖端热效应模型的合理性和正确性，用常规的辐射传热模型来考虑平均热量分布问题。 电烤箱的工作原理是由于电烤箱的电阻元件发热以辐射热的方式给电烤箱内的物体加热。 由辐射热的传热量公式 [11] tFhrr  其中 : r 为 辐射传热量 ， rh 为 辐射传热系数 ， t 为 温度差 ， F 为 传热方向上的导热面积。 我们可以看出电烤箱内物体所吸收的热量与传热接触面积有关，且当传热接触面积 F 增大时，烤盘的吸热量也会增大。 当烤盘形状从矩形到圆形变化，在 烤盘面积 A 一定 的情况 下 ， ALS 侧 ,  侧SL , ， r。 所以 对于矩形烤盘和圆形烤盘，烤盘高度 h 相同，矩形的吸热量大于圆形烤盘的吸热量（ 圆形矩形 rr  ）所以 在相同时间内（将面包烤熟） ， 矩形 烤 盘 内部温度较高 ，在边缘和边角处容易烤焦。 所得结论能够解释问题中的现象，同时与尖端热效应模型结论一致，说明上述将温度场类比于电场，并设计的尖端热效应模型是可 行的。 5 基于烤盘数量与热量分布的双目标规划模型 在选择烤盘形状时要考虑两方面因素：图形密铺效果和烤盘边缘热量分布。 当选取与烤箱边长比一致的矩形烤盘时，存在烤盘完全密铺烤箱的情况，能够充分利用烤箱空间。 这样，在面积 A 相等的情况下，烤盘为矩形时，箱内所能容纳 的烤盘数量最多。 但是，由尖端热效应模型可知，烤盘边角越尖，曲率越小，即角度越小，其温度梯度变化越大，温度分布越不均匀。 同时由于边角处温度场叠加，使得温度升高，导致边角处食物越容易变焦。 图 8 矩形热量分布图 由尖端热模型求解结果分析，。