简易旋转倒立摆及控制装置倒立排设计报告

简易旋转倒立摆及控制装置倒立排设计报告内容摘要：

�1θ− m 𝑘2𝜃∙ （ 2−2） 按照上面的 控制方法，可把倒立摆模型变为单摆模型，能够稳定在垂直位置。 因此 可得控制摇臂 加速度的控制算法 a = 𝑘1𝜃+ 𝑘2𝜃∙ （ 2− 3） 式中， θ 为摆 倾角； 𝜃∙为角速度； k k2 均为比例系数；两项相加后作 电机 加速度的控制量。 只要保证在 条件下，可以使得倒立摆 像单摆一样维持在直立状态。 式子中 有两个控制参数 ， 决定了倒立摆 是否能够稳定到垂直平衡位置，它必须大于重力加速度； 决定了倒立摆 回到垂直位置的阻尼系数，选取合适的阻尼系数可以保证 倒立摆倒立 尽快稳定在垂直位置。 假设倒立摆 模简化 成高度为 L，质量为 m 的简单倒立摆。 假设外力干扰引起倒立摆 产生角加速度 小 X(t)。 以及外力干扰加速度 a (t) x(t) 之间的运动方程 . 对应 摆杆 静止时，系统输入输出的传递函数为： H(s) = 𝜗（ s）𝑥(𝑠) = 1𝑠2−𝑔𝑙 （ 24） 此时系统具有两个极点 s = √𝑔𝑙 （ 25） 一个极点位于 s 平面的右半平面，因此倒立摆不稳定。 倒立摆 引入比例、微分反馈之后的系统如下图所示： 图 42 反馈系统框图 系统传递函数为： H(s) = 𝜃(𝑠)𝑥(𝑠) = 1𝑠2+𝑘2𝑙 𝑠+𝑘1−𝑔𝐿 （ 26） 11 此时两个系统极点位于： 𝑠𝑝 =−𝑘2177。 √𝑘2−4𝑙(𝑘1−𝑔)2𝑙 （ 27） 系统稳定需要两个极点都位于 s 平面的左半平面。 要满足这一点，需要 这一点，需要 K1〉 g,k20 由此可以得出结论 倒立摆 可以稳定。 在角度反馈控制中，与角度成比例的控制量是称为比例控制；与角速度成比例的控制量称为微分控制（角速度是角度的微分）。 因此上面系数 分别称为比例和微分控制参数。 其中微分参 数相当于阻尼力，可以有效抑制倒立摆 震荡。 通过微分抑制控制震荡的思想在后面的速度和方向控制中也同样适用。 总结控制 摆杆 直立稳定的条件如下： （ 1）能够精确测量倒立摆 倾角θ的大小和角速度的大小； （ 2）可以控制摇臂 的加速度。 电机运动控制是通过改变施加在其上的驱动电压大小实现的。 对于电机的电磁模型、动力学模型进行分析和简化，可以将电机转速与施加在其上的电压之间的关系简化成如下的一阶惯性环节模型。 施加在电机上一个阶跃电压 ，电机的速度变化曲线为 ω(t) = E𝑘𝑚(1− 𝑒−1𝑇 )𝑈(𝑡) （ 28） 式中， E 为电压； u（ t） 为单位阶跃函数； T1 为惯性环节时间常数； Km 为电机转速常数。 对应不同的电压，电机的速度变化曲线如图所示。 图 43 电机速度变化曲线图 12 由图可以看出，电机运动明显分为两个阶段：第一个阶段是加速阶段；第二 个阶段为恒速阶段。 其中，在加速阶段，电机带动摇臂 进行加速运动，加速度近似和施加在电机上的电压成正比，加速阶段的时间长度取决于时间常数 T1。 该常数由电机 转动惯量、减速齿轮箱减速比、摇臂和摆杆 的转动惯量决定，一般在十几到几百个毫秒。 在恒速阶段，电 机带动 摇臂 进行恒速运行，运行速度与施加在电机上的电压成正比。 调整摆杆 角度的控制周期很短，时间一般是几个毫秒，远小于时间常数。 此时电机基本上运行在加速阶段。 由（ 23）计算所得到的加速度控制量 再乘以一个比例系数， 即为施加在电机上的控制电压，这样便可以控制摆杆 保持直立状态。 电机的加速度实际上是由通过电机的电流所产生的电磁力矩决定。 考虑到电机电流的控制需要更高的速度，所以在此就简化电机的控制方案。 控制算法分析 控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承 受一定的干扰，需要给系统设计控制器。 本系统采用 PID 控制算法。 PID（ Proportional Integral Differential）控制是比例积分微分控制的简称。 PID 控制器是根据系统的误差，利用误差的比例、积分、微分三个环节的不同组合计 算出控制量。 控制器的参数整定 ： PID 控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。 它是根据被控过程的特性确定 PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。 PID 控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。 它主要是依据系统的数学 模型，经过理论计算确定控制器参数。 二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。 PID 控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。 现在一般采用的是临界比例法。 利用临界比例法进行 PID控制器参数的整定步骤如下： (1)首先预选择一个足够短的采样周期让系统工作； (2)仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期； (3)在一定的控制度下通过公式计算得到 PID控制器的参数。 控制算法： 在模拟控制系统中，控制器最常用的控制方法是 PID 控制， PID 控制系统原理框图如图 所示 ，系统由 PID 控制器和被控对象组成。 13 图 常规 PID控制系统原理框图 PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值 )(trin 与实际输出值 )(tyout 构成控制偏差： )()()( tyo u ttrinterro r  PID的控制规律为：    10)()(1)()( dt td e r r o rTdtte r r o rTte r r o rktu Drp 或写成传递函数为：   sTsTksE sUsG DIp11)( )()( 式中， pk —— 比例系数； IT —— 积分时间常数； DT —— 微分时间常数。 PID 控制分析： 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，在做控制器设计时一般需要有关被 控对象的较精确模型。 PID 控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。 首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。 系统控制结构框图如下图 ： 图 旋转一级倒立摆闭环系统图 图中 )(sKD 是控制器传递函数， )(sG 是被控对象传递函数。 考虑到输入 0)( sr ，结构图可以很容易的变换成图 ： 14 图 旋转一级倒立摆闭环系统简化图 该系统的输出为： )())(())(()()())(())((1)()()(1)()(sFnumn u m P I Dd e nd e n P I Dd e n P I DnumsFd e nd e n P I Dnumn u m P I Dd e nnumsFsGsKDsGsy (6) 其中： num —— 被控对象传递函数的分子项 den —— 被控对象传递函数的分母项 numPID —— PID 控制器传递函数的分子项 denPID —— PID 控制器传递函数的分母项 由式 (213)可以得到摆杆角度和旋转臂加速度的。