[高一数学]上海数学1-18章知识点总结

[高一数学]上海数学1-18章知识点总结内容摘要：

M= pa ， N= qa 奎屯王新敞 新疆 ∴ qpqp aaaNM  ∴ qpNMa log奎屯王新敞 新疆 即证得 NMNMaaa logloglog 奎屯王新敞 新疆 ③设 alog M=P 由对数定义可以得 M= pa , ∴ nM ＝ npa ∴ alog nM =np， 即证得 alog nM =n alog M 一般有下面对数换底公式： l o g l g l nl o g l o g l g l nbabN NNN a a a  （其中 0 , 1 , 0 , 1 , 0a a b b N    ） 证明：设 alog N = x , 则 xa = N 奎屯王新敞 新疆 两边取以 m 为底的对数： l o g l o g l o g l o gxb b b ba N x a N   从而得： loglogbbNx a ∴ logloglogba b NN a 两个常用的推论 : ① 1loglog  ab ba ， 1lo glo glo g  acb cba 奎屯王新敞 新疆 ② log logm n aa nbbm（ a, b 0 且均不为 1） 奎屯王新敞 新疆 三、反函数的概念 8 一般地，对于函数 ()y f x ，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对 A 中任意一个值y ，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 ()y f x ，这样得到 x 关于 y 的函数叫 ()y f x 的反函数。 记 1()x f y 但习惯上 x 表示自变量， y 表示函数所有改写成 1()y f x （ x A） 求反函数的步骤 （ 1）根据 ()y f x 的值域写出 1()y f x 的定义域 （ 2）由 ()y f x 解出 1()x f y （ 3）交换 x ， y 得 1()y f x 互为反函数图像之间的关系 （ 1）一般地，函数 ()y f x 的图像与它的反函数 1()y f x 关于直线 y =x 对称。 （ 2）一般地，如果两个函数图像关于直线 y =x 对称，那么两个函数一定互为反函数。 1反函数存在的条件 若函数 ()y f x 是从定义域到值域的一一对应，即 ()y f x 是定义域上的单调函数，则 ()y f x 存在反函数 1反函数与原函数的关系 （ 1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。 （ 2） 若原函数是奇函数，则反函数一定是奇函数，但奇函数未必有反函数。 偶函数一般不存在反函数 1反函数存在的条件若函数 ()y f x 是从定义域到值域上的一对应，即 ()y f x 是定义域上的单调函数，则 ()y f x 存在反函数． 1反函数的一些结论： （ 1）一般地，函数 ()y f x 的图像与它的反函数 1()y f x 关于直线 y =x 对称。 （ 2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性 （ 3）定义域上的单调函数必有反函数 （ 4）奇函数的反函数是奇函数 （ 5）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 （ 6）周期函数在整个定义域内不存在反函数 （ 7）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成 四、对数函数 1定义：函数 logayx ( 0 1)aa且 叫做对数函数。 其 x 是自变量，定义域是 (0, ) 1对数函数的性质 由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质 a1 0a1 图 象 性 质 定义域：（ 0， +∞） 值域： R 过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0 )1,0(x 时 0y ),1( x 时 0y )1,0(x 时 0y ),1( x 时 0y 在（ 0， +∞）上是增函数 在（ 0， +∞）上是减函数 1对数函数与指数函数的图象关系 由于对数函数 xy alog 与指数函数 xay 互为反函数，所以 xy alog 的图 象与 xay的图象关于直线 xy 对称 奎屯王新敞 新疆因此，我们只要画出和 xay 的图象关于 xy 对称的曲线，就可以得到 xy alog 的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质 奎屯王新敞 新疆 1简单的指数方程 指数含有未知数的方程叫指数方程 （ 1） ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x  20 0xtaA t b t C     令 （ 2） 2 0xxA a b a C   简单的对数方程 定义：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程。 （ 1） ( ) ( )l o g l o g ( ) ( ) 0f x g xaa f x g x    （ 2） ( ) 2 ( )[ l o g ] l o g 0f x f xaaA B C  ()2lo g0( ) 0fxatA t b t Cfx    令 五、三角比 1． 角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 ∴ 180= ∴ 1=180 ∴ x =180x ∴ 1801 ∴ 180xx 弧长公式： rl 扇形面积公式 12S lr  212||r 3． 三角比的正负：一全正、二 正弦、三切正、四余弦 4． 三种关系，八个公式，称为 同角 ． ． 三角函数的基本关系 （ 1）平方关系 1cossin 22   221 ta n se c 221 cot csc （ 2）倒数关系 sin csc 1 cos sec sec 1  tan cot 1 （ 3）商的关系 sintan cos  coscot sin  ： s in ( ) s in c o s s in c o s        ta n ta nta n ( ) 1 ta n ta n   s in ( ) s in c o s s in c o s        ta n ta nta n ( ) 1 ta n ta n   c o s( ) c o s c o s sin sin        c o s( ) c o s c o s sin sin        、余弦和正切公式 ： 22 2 2 22 ta nsin 2 2 sin c o s ta n 21 ta nc o s 2 c o s sin 1 2 sin 2 c o s 1              、余弦和正切公式 ： ：22 2 22 ta n 1 ta n 2 ta n2 2 2sin c o s ta n1 ta n 1 ta n 1 ta n2 2 2           5．辅助角公式： 22s i n c o s s i n ( )a x b x a b x     （其中  角所在象限由 a 、 b 的符号确定，  角的值由 tan ba确定） 6． 升幂公式是：2cos2cos1 2   2sin2cos1 2  。 7． 降幂公式是：2 2cos1sin 2   2 2cos1cos 2   8． 解斜三角形的主要依据是： 设△ ABC 的三边为 a、 b、 c，对应的三个角为 A、 B、 C． （ 1）角 与角关系： A+B+C = π， （ 2）边与边关系： a + b c， b + c a， c + a b， a－ b c， b－ c a， c－ a b． （ 3）边与角关系： 大边对大角 ☆ 3． 正弦定理 RCcBbAa 2s i ns i ns i n （ R 为外接圆半径）． a = 2R sinA，baBAsinsin ☆ 4． 余弦定理 c2 = a2+b2－ 2bccosC， b2 = a2+c2－ 2accosB， a2 = b2+c2－ 2bccosA． 2 2 2cos 2b c aA bc 、 2 2 2cos 2a c bB ac 、 2 2 2co s 2a b cC ab ☆ 5． 面积公式： AbcBacCabchbhahScba s in21s in21s in21212121  面积公式 CBARS s ins ins in2 2 ； RabcS 4 ； 9． 解斜三角形的常规思维方法是： （用正弦还是余弦定理） （ 1）已知两角和一边（如 A、 B、 c），由 A+B+C = π求 C，由正弦定理求 a、 b． （ 2）已知两边和其中一边的对角（如 a、 b、 A），应用正弦定理 求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况． （ 3）已知两边和夹角（如 a、 b、 C），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角． （ 4）已知三边 a、 b、 c，应用余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C． 10．在三角形中的一些结论： （ 1） 三角学中的射影定理：在 △ ABC 中， AcCab coscos  ，„ （ 2） 在 △ ABC 中， BABA sinsin  ，„ （ 3） 在 △ ABC 中： s in ( A + B ) = s in C c o s ( A + B ) c o s C ( A + B ) Cta n ta n 引入辅助角。 asinθ +bcosθ = 22 ba  sin(θ + )，这里辅助角  所在象限由 a、 b 的符号确定，  角的值由 tan =ab 确定 (a0,或变 a0) 六、三角函数 一、正弦函数和余弦函数的图像及性 质 sinyx ， x ∈ R 叫正弦函数； 11yx 6  5  6 5  4  3  2   0 4 3 2 f x  = sin x  正弦 函数的性质 ： 定义域： xR 值域： [1,1] 奇偶性：奇函数 最大值是 1， { | 2 , }2x x k k Z   最小值是 1， 3{ | 2 , }2x x k k Z   单调性：单调增区 间 [ 2 , 2 ] ( )22k k k Z   单调减区间 3[ 2 , 2 ] ( )22k k k Z   周期性 2T  对称中心 ( ,0)k 对称轴 ,2x k k Z   cos ,y x x R叫 余弦函数 11yx 6  5  6 5  4  3  2   0 4 3 2 f x  = co s x  余弦 函数的性质 ： 定义域： xR 值域： [1,1] 最大值是 1， { | 2 , }x x k k Z 最小值是 1， { | 2 , }x x k k Z   奇偶性：偶函数 单调性：单调增区间 [ 2 , 2 ]( )k k k Z   单调减区间 [ 2 , 2 ]( )k k k Z   周期性 2T  对称中心 ( ,0)2k  对称轴 ,x k k Z 正切函数与余切函数 xy tan ，  zkkx  2 叫 正切函数 正切函数的性质 ： 1．定义域：  zkkxx ,2| ， 2．值域： R 3．周期性： T 4．奇偶性：   xx tantan  奇函数 5．单调性：在开区间 zkkk 。