[数学]高考圆锥曲线压轴题型总结

[数学]高考圆锥曲线压轴题型总结内容摘要：

题型三。 直线与圆锥曲线，已知其中一个交点时，可迅速求出另外一个交点。 1. （ 05 江西卷）如图， M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、 MF分别交 x 轴于 A、 B 两点，且 MA=MB. （ 1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值； （ 2）若 M 为动点，且∠ EMF=90176。 ，求△ EMF 的重心 G 的轨迹解：（ 1）设 M（ y20 ,y0），直线 ME 的斜率为 k(l0) 则直线 MF 的斜率为－ k，方程为 200( ).y y k x y   ∴由 2002()y y k x yyx   ，消 2 00(1 ) 0x k y y y k y   得 解得 20021 (1 ),FFk y k yyxkk   ∴0022 000 022211 214( 1 ) ( 1 ) 2EFEF EFk y k yyy k k kkkyk y k yx x ykkk       (定值 ) 所 以直线 EF 的斜率为定值 （ 2） 9 0 , 4 5 , 1 ,E M F M A B k    当 时 所 以直线 ME 的方程为 200()y y k x y   由 2002y y x yyx   得 200((1 ) ,1 )E y y 同理可得 200((1 ) , (1 )).F y y   设重心 G（ x, y），则有2 2 2 20 0 0 00 0 0 0( 1 ) ( 1 ) 2 33 3 3( 1 ) ( 1 )3 3 3M E FM E Fy y y yx x xxy y y yx x xx               消去参数 0y 得 2 1 2 2( ).9 27 3y x x   2. 09 浙江文） （本题满分 15 分）已知抛物线 C ： 2 2 ( 0)x py p上一点 ( ,4)Am 到其焦点的距离为 174 ． （ I）求 p 与 m 的值； x y O A B E F M （ II）设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 ( 0)tt ，过 P 的直线交 C 于另一点 Q ，交 x 轴于点 M ，过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N ．若 MN 是 C 的切线，求 t 的最小值． 解析（ Ⅰ ）由抛物线方程得其准线方程：2py ，根据抛物线定义 点 )4,(mA 到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724  p，解得21p 抛物线方程为： yx 2 ，将 )4,(mA 代入抛物线方程，解得 2m （ Ⅱ ）由题意知，过点 ),( 2ttP 的直线 PQ 斜率存在且不为 0，设其为 k。 则 )(: 2 txktyl PQ  ，当 ,0 2k kttxy  则 )0,( 2k kttM 。 联立方 程   yx txkty22 )( ，整理得： 0)(2  tktkxx 即： 0)]()[(  tkxtx ，解得 ,tx 或 tkx  ))(,( 2tktkQ  ，而 QPQN ， 直线 NQ 斜率为 k1 21世纪教育网 )]([1)(: 2 tkxktkyl NQ  ，联立方程 yxtkxktky22 )]([1)( 整理得： 0)()(11 22  tktkkxkx ，即： 0]1)()[(2  tkktkxkx 0)](][1)([  tkxtkkkx ，解得： ktkkx 1)(  ，或 tkx  )]1)([,1)(( 2 2k tkkk tkkN  ，)1()1(1)(]1)([2222222 ktk ktkkkttktkkktkkK NM 而抛物线在点 N 处切线斜率：k tkkyk k tkkx 2)(21)(  切  MN 是 抛 物 线 的 切 线 ， k tkkktk ktk 2)(2)1( )1(2222  ， 整 理 得021 22  ttkk 0)21(4 22  tt ，解得 32t （舍去），或 32t ， 32min t 天津卷） 抛物线 C 的方程为 )0(2  aaxy ，过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠ 0)作斜率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 (P,A,B三点互不相同 )，且满足 )10(012   且kk . （Ⅰ）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）设直线 AB 上一点 M，满足 MABM  ，证明线段 PM 的中点在 y 轴上； （Ⅲ）当  =1 时，若点 P 的坐标为（ 1， 1），求∠ PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 1y 的取值范围 . 解： （Ⅰ）由抛物线 C 的方程 2axy （ 0a ）得，焦点坐标为 )41,0( a ，准线方程为ay 41 ． （Ⅱ）证明： 设直线 PA 的方程为 )( 010 xxkyy  ，直线 PB 的方程为)( 020 xxkyy  ． 点 ),( 00 yxP 和点 ),( 11 yxA 的坐标是方程组 0 1 02()y y k x xy ax  ①②的解 ．将 ②式代入①式得 000112  yxkxkax ，于是 akxx 101 ，故011 xakx  ③ 又点 ),( 00 yxP 和点 ),( 22 yxB 的坐标是方程组 0 2 02()y y k x xy ax  ④　 　 　 　 ⑤的解 ．将⑤式代入 ④式得 000222  yxkxkax ．于是 220kxxa，故 220kxxa． 由已知得， 12 kk  ，则012 xkax  ． ⑥ 设点 M 的坐标为 ),( MM yx ，由 BM MA ，则  1 12 xxxM． 将③式和⑥式代入上式得0001 xxxx M  ，即 00 xxM ． ∴线段 PM 的中点在 y 轴上． （Ⅲ）因为点 )1,1( P 在抛物线 2axy 上，所以 1a ，抛物线方程为 2xy  ． 由③式知 111  kx ，代入 2xy  得 211 )1(  ky ． 将 1 代入 ⑥ 式得 211xk，代入 2xy  得 222 )1(  ky ． 因此，直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为 21 1 1( 1, 2 1)A k k k    ， 21 1 1( 1, 2 1)B k k k   ． 于是 21 1 1( 2 , 2 )A P k k k  ， 11(2 ,4 )AB k k ， 21 1 1 1 1 1 1 12 ( 2 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 1 )A P A B k k k k k k k k       ． 因 PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同，故必有 0AP AB． 求得 1k 的取值范围是 1 2k 或11 02 k  ．又点 A 的纵坐标 1y 满足 211( 1)yk  ，故 当 1 2k 时， 1 1y ；当11 02 k  时，1 11 4y  ．即1 1( , 1) ( 1, )4y      06 湖北卷）设 ,AB分别为椭圆22 1( , 0 )xy abab  的左、右顶点， 椭圆长半轴的长等于焦距，且 4x 为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设 P 为右准线上不同于点（ 4， 0）的任意一点，若直线 ,APBP 分别与椭圆相交于异于 ,AB的点 MN、 ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 解： （Ⅰ）依题意得 a＝ 2c， ca2 ＝ 4，解得 a＝ 2， c＝ 1，从而 b＝ 3 . 故椭圆的方程为 134 22  yx . （Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0），B（ 2， 0） .设 M（ x0， y0） . ∵ M 点在椭圆上，∴ y0＝ 43 （ 4－ x02） . ○ 1 21 1 2 3 4 2 2 4BAMN又点 M 异于顶点 A、 B，∴－ 2x02，由 P、 A、 M 三点共线可以得 P（ 4，260 0xy） . 从而 BM ＝（ x0－ 2， y0）， BP ＝（ 2，260 0xy） . ∴ BM 178。 BP ＝ 2x0－ 4＋26020xy＝220x（ x02－ 4＋ 3y02） . ○ 2 将 ○ 1 代入 ○ 2 ，化简得 BM 178。 BP ＝25（ 2－ x0） . ∵ 2－ x00，∴ BM 178。 BP 0，则∠ MBP 为锐角，从而∠ MBN 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0）， B（ 2， 0） .设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， 则－ 2x12，－ 2x22，又 MN 的中点 Q 的坐标为（ 2 21 xx ， 2 21 yy ）， 依题意，计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 2BQ － 241MN ＝ ( 2 21 xx － 2）2＋（2 21 yy ）2－41 [(x1－ x2)2＋ (y1－ y2)2] ＝（ x1－ 2) (x2－ 2)＋ y1y1 ○ 3 又直线 AP 的方程为 y＝ )2(21 1  xx y，直线 BP 的方程为 y＝ )2(22 2  xx y， 而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x＝ 4 上， ∴2626 2 21 1  x yx y，即 y2＝2)23 1 12 x yx（ ○ 4 又点 M 在椭圆上，则 134 2121  yx ，即 )4(43 2121 xy  ○ 5 于是将 ○ 4 、 ○ 5 代入 ○ 3 ，化简后可得 2BQ － 241MN ＝ 0)2)(24521 xx－（. 从而， 点 B 在以 MN 为直径的圆内。 用了题型 3 与题型 1，对 B 在圆内处理方法比较好。 (06 重庆卷 )如图，对每个正整数 n ， ( , )n n nA x y 是抛物线 2 4xy 上的点，过焦点 F 的直线nFA 角抛物线于另一点 ( , )n n nB s t。 （Ⅰ）试证： 4( 1)nnx s n  ； （Ⅱ）取 2nnx ，并记 nC 为抛物线上分别以 nA 与 nB 为切点的两条切线的交点。 试证： 112 2 2 1nnnF C F C F C      ； 证明：（Ⅰ）对任意固定的 1,n 因为焦点 F（ 0,1） ,所以可设直线 nnAB 的方 程为 1,ny k x 将它与抛物线方程 2 4xy 联立得 : 2 4 4 0nx k x  ,由一元二次方程根与系数的关系得 4( 1)nnx s n  ． （Ⅱ）对任意固定的 1,n 利用导数知识易得抛物线 2 4xy 在 nA 处的切线的斜率,2n nA xk  故 2 4xy 在 nA 处的切线的方程为： ()2nnnxy y x x  ，…… ① 类似地，可求得 2 4xy 在 nB 处的切线的方程为： ()2nnnsy t x s  ，…… ② 由 ② － ① 得： 2 2 2 22 2 4 4n n n n n nnn x s x s x sy t x     ， 22 ,2 4 2n n n n n nx s x s x sxx    …… ③ 将 ③ 代入 ① 并注意 4nnxs 得交点 nC 的坐标为 ( , 1)2nnxs  ． 由两点间的距离公式得： 222 2( ) 4 22 4 4n n n n。