[中考数学]二次函数知识点总结与典型例题

[中考数学]二次函数知识点总结与典型例题内容摘要：

【答案】 ①③④ 8. 如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标是（－ 2， 4），过点 A 作 AB⊥ y轴，垂足为 B，连结 OA． (1)求 △ OAB 的面积； (2)若抛物线 2 2y x x c   经过点 A． ① 求 c 的值； ② 将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 △ OAB 的 内部（不包括 △ OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）． 解： (1) ∵ 点 A 的坐标是（－ 2， 4）， AB⊥ y 轴， ∴ AB=2， OB＝ 4， ∴ 11 2 4 422O A BS A B O B        (2)① 把点 A 的坐标（－ 2， 4）代入 2 2y x x c   ， 得 2( 2 ) 2 ( 2 ) 4c      ， ∴ c＝ 4 ②∵ 222 4 ( 1 ) 4y x x x       ， ∴ 抛物线顶点 D 的坐标是 (－ 1， 5)， AB 的中点 E 的坐标是（－ 1， 4）， OA 的中点 F 的坐标是 （－ 1， 2）， ∴ m 的取值范围为 lm3． 9． 已知二次函数 y= 14 x 2+ 32 x 的图像如图 ． （ 1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标； （ 2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B、 C 三点，若 ∠ ACB=90176。 ，求此时抛物线的解析式； （ 3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径， D 为圆心作 ⊙ D，试判断直线 CM 与 ⊙ D 的位置关系，并说明理由． 解：（ 1）二次函数 y=14x2+32x 的对称轴为 x=3， ∴ D（ 3， 0） ． （ 2）设抛物线向上平移 h 个单位（ h＞ 0），则平移后的抛物线解析式为 y=14x2+32x+h． ∵∠ ACB=90176。 ， ∴ OC2=OAOB． 设点 A、 B 的横坐标分别为 x x2，则 h2= x1x2． ∵ x x2 是一元二次方程 14x2+32x+h=0 的两个根， ∴ x1x2=4h， ∴ h2=4h， ∴ h=4， ∴ 抛物线的解析式为 y=14x2+32x+4． （ 3） CM 与 ⊙ D 相切，理由如下： 连结 CD、 CM，过点 C 作 CN⊥ DM 于点 D，如下图所示： ∵ AB 是 ⊙ D 的直径， ∠ ACB=90176。 ， ∴ 点 C 在 ⊙ D 上． 根据平移后的抛物线的解析式 y=14x2+32x+4 可得： OD=3， OC=4， DM=254 ， CD=5． ∴ CN=3， MN=94， ∴ CM=154 ． ∵ CM=154 ， CD=5， DM=254 ， ∴△ CDM 是直角三角形且 ∠ DCM=90176。 ， ∴ CM 与 ⊙ D 相切． 10. 如图 10，在平面直角坐标系 xOy 中， AB 在 x 轴上， AB＝ 10，以 AB 为直径的 ⊙ O′与 y轴正半轴交于点 C，连接 BC， 是 ⊙ O′的切线， AD⊥ CD 于点 D， tan∠ CAD＝ 21 ，抛物线 cbxaxy  2 过 A， B， C 三点 . （ 1）求证： ∠ CAD＝ ∠ CAB； （ 2） ① 求抛物线的解析式； ② 判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由； （ 3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形 .若存在，直接写出点 P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由 . （ 1）证明：连接 O′C. ∵ CD 是 ⊙ O′的切线， ∴ O′C⊥ CD． ∵ AD⊥ CD， ∴ O′C∥ AD， ∴∠ O′CA＝ ∠ CAD． ∵ O′C＝ O′A， ∴∠ O′CA＝ ∠ CAB， ∴∠ CAD＝ ∠ CAB． （ 2） ① ∵ AB 是 ⊙ O′的直径， ∴∠ ACB＝ 90176。 ∵ OC⊥ AB， ∴∠ CAB＝ ∠ OCB， ∴△ CAO∽△ BCO， ∴OCOBOAOC 即 OBOAOC 2 ． ∵ tan∠ CAO＝ tan∠。