20xx电大高等数学基础形成性考核手册答案

20xx电大高等数学基础形成性考核手册答案内容摘要：

ln3d()ln3(dln3 exxxxx x ⒍414341212121de 2102210 210210 2    eeedxexexx xxxx ⒎41412121221ln2ln21dln 212211212e1   eeex d xxxx d xxxx eeee ⒏   e eeexedxxxxxx x 1 121e1 2 12111ln1dln （四）证明题 ⒈证明：若 )(xf 在 ],[ aa 上可积并为奇函数，则 0d)( aa xxf． 证 :   a aa aaaa a dttfdttfdttfdxxftx )()()()(令 0)()()(    a aa aa a dxxfdxxfdxxf 证毕 ⒉证明：若 )(xf 在 ],[ aa 上可积并为偶函数，则   aaa xxfxxf 0 d)(2d)(． 证：   aaaa xxfxxfxxf 00 d)(d)(d)(    aaa xftftfxxftx 000 )(dt)(dt)(d)(, 是偶函数则令  证毕   aaaaaaa xxfxxfxxfxxfxxfxxf 00000 d)(2d)(d)(d)(d)(d)( 11 高等数学（ 1）学习辅导 (一 ) 第一章 函数 ⒈理解函数的概念；掌握函数 )(xfy 中符号 f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。 两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。 若对任意 x ，有 )()( xfxf  ，则 )(xf 称为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称。 若对任意 x ，有 )()( xfxf  ，则 )(xf 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。 掌握奇偶函数的判别方法。 掌握单调函数、有界函数及周期函数的图 形特点。 ⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： ① 常数函数： cy ② 幂函数： )( 为实数xy  ③ 指数函数： )1,0(  aaay x ④ 对数函数： )1,0(lo g  aaxy a ⑤ 三角函数： xxxx c o t,ta n,c o s,s in ⑥ 反三角函数： xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s in ⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单 的函数。 如函数 )1(arctan2e xy  可以分解 uy e ， 2vu ， wv arctan ， xw 1。 分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。 ⒌会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解 一、填空题 ⒈设 )0(1)1( 2  xxxxf ，则 f x( )。 解：设 xt 1 ，则 tx 1 ，得 t ttttf22 11111)(  故 xxxf 211)( 。 ⒉函数 xxxf  5)2ln (1)(的定义域是。 解：对函数的第一项，要求 02x 且 0)2ln( x ，即 2x 且 3x ；对函数的第二项，要求 05 x ，即 5x。 取公共部分，得函数定义域为 ]5,3()3,2( 。 ⒊函数 )(xf 的定义域为 ]1,0[ ，则 )(lnxf 的定义域是。 解：要使 )(lnxf 有意义，必须使 1ln0  x ，由此得 )(lnxf 定义域为 ]e,1[。 ⒋函数 392 xxy的定义域为。 解：要使 392 xxy有意义，必须满足 092 x 且 03x ，即  33xx成立， 12 解不等式方程组，得出    3 33x xx 或，故得出函数的定义域为 ),3(]3,( 。 ⒌设 2)(xx aaxf ，则函数的图形关于 对称。 解： )(xf 的定义域为 ),(  ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx   即 )(xf 是偶函数，故图形关于 y 轴对称。 二、单项选择题 ⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。 A. xxgxxf  )(,)( 2 ； B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln 2 2； C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln 3 3； D. f x xx g x x( ) , ( )   2 11 1 解： A 中两函 数的对应关系不同 , xxx 2 ， B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以 A B, D 都不是正确的选项；而选项 C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项 C 正确。 ⒉设函数 f x() 的定义域为 ( , ) ，则函数 f x f x( ) ( )－  的图形关于（ ）对称。 ＝ x； B. x 轴； 轴； 解：设 )()()( xfxfxF  ，则对任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF  即 )(xF 是奇函数，故图形关于原点对称。 选项 D 正确。 3．设函数 f x() 的定义域是全体实数，则函数 )()( xfxf  是（ ）． ； ； ； 解： A, B, D 三个选项都不一定满足。 设 )()()( xfxfxF  ，则对任意 x 有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF  即 )(xF 是偶函数，故选项 C 正确。 ⒋函数 )1,0(11)(  aaaaxxf xx（ ） ； B. 是偶函数； ；。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxx xxxx   所以 B 正确。 ⒌若函数 22 1)1( xxxxf  ，则 )(xf （ ） A. 2x ； B. 22x ； C. 2)1( x ； D. 12x。 解：因为 2)1(2121 22222  xxxxxx 所以 2)1()1( 2  xxxxf 13 则 2)( 2  xxf ，故选项 B 正确。 第二章 极限与连续 ⒈知道数列极限的“ N ”定义；了解函数极限的描述性定义。 ⒉理解无穷小量的 概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有： ① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； ③ 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。 ⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。 求极限有几种典型的类型 （ 1） aaxaxaxaaxax axakkkkxkkx 21)())((limlim222020  （ 2） 1001002 ))((limlim00 xxxxxxxxxx baxxxxxx   （ 3）  mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100lim0  ⒋熟练掌握两个重要极限： limsinx xx 0 1 lim( )x xx  1 1 e （或 lim( )x xx  011 e） 重要极限的一般形式 ： limsin ( )( )( )xxx 0 1 lim ( ( ) )( ) ( )f x f xf x   11 e （或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x  011 e） 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如 3133s inlims inlim3133s ins in31lim3s ins inlim0000 xxxxxxxxxxxxxx 312122eee])11[(lim])21[(lim)11()21(lim1121lim)12(lim   xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。 间断点的分类： 已知点 0xx 是的间断点， 若 )(xf 在点 0xx 的左、右极限都存在，则 0xx 称为 )(xf 的第一类间断点； 若 )(xf 在点 0xx 的左、右极限有一个不存在，则 0xx 称为 )(xf 的第二类间断点。 ⒍理解 连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。 典型例题解析 一、填空题 ⒈极限 limsinsinxx xx 02 1。 14 解： 010s inlim1s inlim)s in1s in(lims in 1s inlim00020   xxxxxxxxx xxxxxx 注意： 01sinlim0  xxx （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） 111s inlim 1s in1lims inlim000 xxxxxxxxx，其中 xxx sinlim0 =1 是第一个重要极限。 ⒉函数 0101sin)(xxxxxxf的间断点 是 x。 解：由 )(xf 是分段函数， 0x 是 )(xf 的分段点，考虑函数在 0x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim01s inlim 00    fxxx xx 所以函数 )(xf 在 0x 处是间断的， 又 )(xf 在 )0,( 和 ),0(  都是连续的，故函数 )(xf 的间断点是 0x。 ⒊⒋⒌⒍设 23)( 2  xxxf ，则 f f x[ ( )] 。 解： 32)(  xxf ，故 201842)32(3)32()]([ 22  xxxxxff ⒎函数 )1ln( 2xy  的单调增加区间是。 二、单项选择题 ⒈函数 f x x x( ) sin 1 在点 x0 处（ ）． ； ； ； 解： )(xf 在点 x0 处没有定义，但 0sinlim0  xxx （无穷小量  有界变量 =无穷小量） 故选项 B 正确。 ⒉下列函数在指定 的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. e 1x x, ( )  ； B. sin , ( )xx x  ； C. l。