线性代数及应用

线性代数及应用内容摘要：

如何证明该结论。 0220骣 247。 231。 247。 231。 247。 231。 247。 桫矩阵乘法 ：设 如果 ， 则称 C是 A（ 左 ） 乘 B的 乘积 ， 记作： C=AB， 即。 这里 即 C的第 i， j元 是矩阵 A的第 i行 与 B的第 j列 的对应元的乘积之和。 注： 从矩阵的乘法定义可见，必须满足： A的列数 =B的行数。 同理， 当 B的列数 =A的行数时， BA才有意义。 必须指出：矩阵乘法不满足交换率。 矩阵运算规则 定理 1 对任意的数 α和 β， 以及任意矩阵 A， B， C， 有 （ 1） A+B=B+A 加法交换律 （ A+B） +C=A+(B+C) 加法结合律 （ 2） (αβ)A=α (βA)= β(α)A 数乘结合律 α(AB)= (αA)B=A(αB) （ 3） (AB)C=A(BC)=ABC 乘法结合律 (1—9) （ 4） (AT) T=A （ 5） (A+B) T=AT+BT， (αA)T=αAT， (AB)T =BTAT （ 1—10） （ 6） (A+B)C=AC+BC 分配律 A (B+ C) =AB+AC (α +β)A=αA+βA α(A+B)= αA+αB 上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。 证明矩阵乘法结合律： (AB)C=A(BC)=ABC 证：设 记 证明 DC=AG。 因为 ， ， 则 DC的第 i,j 元为： 得到 DC的第 i,j元等于 AG的第 i,j元。 A的 i 行乘以 B的 l 列 证明 (AB)T =BTAT 证： 即。 剩下的要证明它们的第 i, j元都对应相等。 设 即 (AB)T的第 i， j元是 AB的第 j,i元，即 A的第 j行与 B的第 i列 的乘积。 直接计算得到： BTAT的第 i, j元是 BT的第 i行与 AT的第 j列的乘积，即：A的第 j行与 B的第 i列 的乘积。 所以， (AB)T =BTAT。 根据定理 1的运算规则，矩阵乘法具备数与数相乘的大多数性质，但不全是： 课后练习 讲义 p47 12（ 2， 3， 5， 6） 13， 14， 15， 16， 17； 定理 2 对 m n矩阵 A， 有 对于适当维的零矩阵 ， 总成立： A0=0， 0A=0。