第四节正定二次型

第四节正定二次型内容摘要：

k＋ 1 时， 21 ( ) ,m k k k k kA A A AA A AA   即， 与正定矩阵 A合同，而 A与单位矩阵 E合同， mA所以 与 E合同，即 正定 . mA mA16 169。 2020, Henan Polytechnic University 16 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 顺序主子式、主子式 、 () nnijA a R 设矩阵 11 111)kkk kkaaPaa称为 A的第 k阶 顺序主子式 . 2） k 级行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212kkk k k ki i i i i ii i i i i iki i i i i ia a aa a aQa a a即行指标与列指标相同的 k阶子式 称为 A的一个 k 阶 主子式 . 17 169。 2020, Henan Polytechnic University 17 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 3 A的顺序主子式 Pk 全大于零 . 1211( , , , )nnn ij i jijf x x x a x x X AX正定 实二次型 1211( , , , )kkk k ij i jijf x x x a x x  11 12 1 121 22 2 21212( , , , )kkkkk k kka a a xa a a xx x xxa a a   证 :必要性 .设 正定，对每一个 k 12( , , , )nf x x x( 1 ) ,k k n令 18 169。 2020, Henan Polytechnic University 18 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 是正定的 ， 从而 正定 . 12( , , , )knf x x x ( 1 , 2, , )Ak对任意一不全为零的数 有 12, , , ,kc c c1 2 1 2( , , , ) ( , , , , 0, , 0 ) 0k k kf c c c f c c cde t ( 1 , 2, , ) 0, 1 , 2, , .kP A k n   k充分性 ： 对 n作数学归纳法 . n＝ 1时 ， 正定 . 结论成立 . 211 11 11 10. ( )ia a f x a x   假设对于 n－ 1元二次型结论成立，下证 n元的情形 . 19 169。 2020, Henan Polytechnic University 19 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 又 A的顺序主子式全大于零，所以 A1的顺序主子式 由归纳假设， A1正定，即存在可逆矩阵 G， 使 令 111 1 , 1211 , 1 1 , 11,nnnn n nnnaaaaAaa a   ,=则 1nnAAa 11 .nG A G E  也全大于零 . ( ) .i j n nAa 设 20 169。 2020, Henan Polytechnic University 20 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 则 1112 1 1 2 0() 1 0 1nnnnnEGE E GC C AC CGaG              1 00nnnEa G G  令  1 0 ,01GC 再令 12 ,01nEGC   则     1111 000 1 0 11 nnnEGAGGC ACGa      21 169。 2020, Henan Polytechnic University 21 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 由判定充要条件 3). 知 A正定 ， 所以 正定 . X AX再令 12 , nnC C C a a G G 。