第六章习题课

第六章习题课内容摘要：

重积分中值定理） ４、二重积分的计算 ,: bxaD  ).()( 21 xyx  ［ X－型］ .),(),( )()(21  Dbaxxdyyxfdxdyxf  X型区域的特点 ： 穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . （１）直角坐标系下 Y型区域的特点 ： 穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . .),(),( )()(21  Ddcyydxyxfdydyxf ,: dycD  ).()( 21 yxy  ［ Y－型］ .)s i n,c o s()( )(21    r d rrrfd1)s i n,c o s(Dr dr drrf ,:1  D ).()( 21   r（２）极坐标系下 .)s i n,c o s()(0   r d rrrfd,:2  D ).(0  r2)s i n,c o s(Dr dr drrf 3)s i n,c o s(Dr dr drrf .)s i n,c o s()(020    r d rrrfd,20:3  D ).(0  r二重积分的应用 体积 的体积为之间直柱体与区域在曲面 Dyxfz ),(DdxdyyxfV .),(二、典型例题 例 1 解 2200()li m .xyy x xxy求 极 限)0(,s i n,c o s   yx令.0)0,0(),(  等价于则 yx c o s)c o s( s i n)(0 222yxxxy c o s)c o s(si n  ,2.0)(l i m 2200 yxxxyyx故例 2 解 3222( , ) , ( ), , .yz x f x y fxz z zy y x y     设 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ，求)1( 213 xfxfxyz  ,2214 fxfx )1()1( 222121211422xfxfxxfxfxyz ,2 22123115 fxfxfx xyzyxz 22)]([2)]([4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214 fxfxx .24 22114213 fyfyxfxfx 例 3 解 2( , , ) , ( , , ) 0, sin ,( , ) 0, .yu f x y z x e z y xdufz dx  设具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 求,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,c o s xdxdy 显然,dxdz求 得的导数两边求对 ,0),( 2 xzex y ,02 321  dxdzdxdyex y 于是可得 , ),c o s2(1 2s i n13  xexdxdz x.)c o s2(1c o s 2s i n13 zfxexyfxxfdxdu x 故例 4 解 ( , ) ,( ) ( , , ) 0,( , ) 0., 0, 0, .u f x yu x g x y zh x zg h duy z dx设 函 数 由 方 程 组所 确 定 且 试 求的函数．都看成是以及将方程组的变元 xzyu ,得求导方程组各方程两边对 ,x)3(.0)2(,0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得由 ,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得代入.)1(zyxzyyxyx hghgfggffdxdu得代入22 22z x y x y z    求 旋 转 抛 物 面 与 平 面之 间 的 最 短 距 离 ．例 5 解 .2261,022,),(22zyxddzyxPyxzzyxP的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析 : 最小．即且使满足，使得本题变为求一点))22(61(22610,),(2222zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF  令)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx.81,41,41  zyx解此方程组得得 .64 7241414161m i n d),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值)81,41,41(D例 6 解 221. , , 2Dxd D y x y xyx   计 算 其 中 由围 成 ．  xxDdyyxdxdyx 1 222122  21 12)( dxyx xx 21 3 )( dxxx .49X型 .21,1:  xxyxD例 7 解 2 . : 1 1 , 0 1 .Dy x d D x y     计 算 其 中1D 2D3D先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()( 222   1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx .151122202 ( , ) . ( 0)a a xa x xI d x f x y d y a更 换 积 分 次 序例 8 解 ,22,20: 2axyxaxaxD,321三部分及分成将积分区域DDDD2D1D 3D。 0,2: 2221ayyaaxayD。 2,22:22 ayaaxayD 。 0,2: 223ayaxyaaD.),(),(),(20222020222222ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故例 9 解 22 .( 1 c o s )Dx y d Dr a r a  计 算 其 中 是 由 心。