第二节正项级数及其收敛法

第二节正项级数及其收敛法内容摘要：

可以任意改变项的顺序，其收敛性与和均不变； (2) 条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺序，使其按任意预定的方式收敛 或 发散。 注： 用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级数一定发散。 三、小结 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4. 充要条件 5. 比较法 6. 比值法 7. 根值法 4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理 ) 3. 按基本性质。 , 则级数收敛若 SS n 。 ,0, 则级数发散当  nun(*) 第四节 幂级数 一 . 函数项级数  )()()(21 xuxuxu n1)(nn xu函数项级数 )}({ xun 是定义在区间 I 上的函数列 在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数 0x10 )(nn xu  )()()( 00201 xuxuxu n收敛 , 收敛点 0x 0x发散 , 发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为 收敛域 ： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点 x，因此其和是 x的函数， 称为 和函数 1)()(nn xuxS : )()()( xSxSxr nn  前 n项的部分和 在收敛域内才有意义 ,且 0)(lim  xrnn二 . 幂级数及其收敛性 幂级数 各项都是幂函数的函数项级数 一般形式 :  nn xxaxxaxxaa )()()( 0202020 nn xaxaxaa 2210特例 系数 (1) (2) 主要讨论 (2),因为 (1)可以通过变量代换化成 (2) x = 0 时 (2)收敛 ,一般的 ,幂级数收敛域是一区间 . 例  nnn xxxx 211 1由等比级数的性质 , 时收敛 , 时发散 1|| x 1|| x则收敛域 (－ 1,1)内 xxxxn 111 2定理 1 (阿贝尔定理 ) 如果 ： 0nnn xa 收敛 , )0(0  xx 则当 时，它绝对收敛 |||| 0xx  发散 , )0(0  xx则当 时，它发散 . |||| 0xx 推论 设 存在非零的收敛点 ,又存在发散点 ,则 0nnn xa存在 R0,使得当 |x|R 时它绝对收敛 ,当 |x|R 时它发散 注 :三种收敛情形 : (1) 仅在 x = 0 处收敛。 (2) 在 内处处收敛。 ),( (3) 在 (－ R,R )内收敛 ,端点另外讨论 收敛区间 R— 收敛半径 R= 0 R= +。