第一章非线性振动初步

第一章非线性振动初步内容摘要：

G与 G‘的轨线分成三个区域。 ,和小摆角情况相似。 ， 22任意摆角下的相图 1. 阻尼单摆 不动点 运动 从倒立开始往下摆 ， 由于能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另一鞍点 ， 分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向坐标原点。 原点是该区域的不动点 ， 是该区域吸引子。 左右两个区域也有相应的吸引子 ，它们分别处在该图左 ( 2 )和右 (+2)两侧。 2. 杜芬方程 • 数学上将含有 三次项的二阶方程称为 Duffing方程。 有 驱动力方程为： 实验中系数 由磁铁的吸力调整。 弱磁吸力时 ， 强磁吸力时。 例 ：弱非线性单摆属 Duffing方程： 取： 得： 00tFxxdtdxdt xd  c o s322 g3x6/s in 3xxx 0)6/( 32022  xxdtdxdt xd g0s in2022  xdtdxdt xd g杜芬 方程 • 研究无驱无阻尼杜芬方程： （ ， ， ） 积分得： 由系统能量 得： 讨论 ：由 知： 1. 当 时有一个平衡点： 2. 当 时有三个平衡点： 3. 平衡点 为两个能量最小点 0322  xxdt xd Exxdtdx   242212121 EVK   242121 xxV 0000/ dxdV00xx0xx0g0F 1势能曲线 2. 杜芬方程 00相图 2. 杜芬方程 00 从杜芬方程 势能曲线 ，画出 ( ）平面上的相轨线。 1. 对于 ， 坐标原点是椭圆点 ， 附近为闭合椭圆轨道。 2. 对于 ,坐标原点是鞍点 ， 邻近相轨线是双曲线。 在 处是椭圆点 ， 附近是闭合轨道。 因原点轨线附近呈双曲线 ， 形成一对蛋形轨线。 3. 对于 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。 其中 两条轨线走向原点 ， 另两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点 ， 这原点称同宿点。 xx,00x00 0相图 2. 杜芬方程 • 有阻尼 ： 1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。 2. ， 原点为不动点 ， 平面任一点都趋于原点 ， 是整个相平面吸引子。 3. ， 原点是鞍点 ， 坐标 ( )处两不动点 ， 是吸引子。 整个相平面被分隔成两个区域 ， 不同区的相点分别流向这两个不动点。 000322  xxdtdxdt xd g0g00 x阻尼方程相图 2. 杜芬方程 3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程 • 小角度单摆方程 阻尼项系数 常数。 一个可变非线性阻尼的微分方程： 阻尼项系数是 与 x2 有关， e 为可以任意设定的小数。 它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立 ,称为 范德玻耳方程 02 2022   dtddtd20)1( 20222  xdtdxxdt xd e)1( 2 xeLC/10 非线性阻尼振子 单摆运动与 LC回路 范德玻耳方程解法 • 谐波线性化方法 将范德玻耳方程写为 仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为： 两次微分 一起代入方程得： 令方程两边同次谐波项系数相等得： dtdxxxdtxd )1( 22022  etco sAx tc o s222 Adt xd ts in Adtdx t3s in41+ts in141c o s)(32220eeAAAtA   0220 0)( A 20141 2  cAAAA e3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程 范德玻耳方程解。