第7章数字信号处理中的有效字长效应

第7章数字信号处理中的有效字长效应内容摘要：

23521 jj ezzezz ＝＝，＝，＝））（）（（＝ 15151 00 1)(  zezezzH jj于是： 研究当 时，仅仅由一个系数 的量化所引起的极点 的变化 031 ＝＝ aa  2a1z 1z））（（＝＝ 00 55 23121211 ))(( jj eeazzzzazz若字长为 8位 ， 由量化引起的误差 q/2可达大约 ， 求得 ， 于是 2 5 7 1＝z2 4 5 7 111 ＝＝＝  zzz极点远远超出单位圆，这样的变化显然是太大了。 再研究 ，即将极点移到单位圆上需要的字长 ＝z＝计算得： a 二进制数中为 214＜ ＜ 213， 字长至少要 14位。 2a 如果 ＝ ，就会使量化后系统的极点移到单位圆上 可见一个三阶系统对字长的要求已经非常严格了，如果阶数再高对量化误差的要求将更加苛刻。 考察用三个一阶的环节级联或并联组成这个系统。  每一个环节中极点从 ， 允许变化  而且这个环节的稳定性并不受另一环节影响  所以其所需字长为 7位 结论：  系数量化对零 、 极点位置的影响与零 、 极点位置的分布以及滤波器的结构均有密切的关系  高阶滤波器：避免采用直接型的结构 ， 而应分解为最低阶的级联结构或并联结构  对于极点灵敏度很高的场合 ， 可以来用双精度的系数 ， 以便有效的达到精度的要求。 系数量化对二阶子系统 极点位置的影响 高阶系统  级联型和并联型优于直接型。 级联型和并联型的基本子系统是二阶节  一个具有共轭极点的二阶系统有各种不同的结构  不同结构对于系数量化的敏感度也不同 二阶 IIR系统的系统函数为 221111)(  zazazH ＝jrez ＝， 21221112211 c o s21)1)(1(1   zrzrzrezrezaza jj 2c o s122 arar  ，具有一对共轭对称的复极点 有 得到 共轭对称极点对组成的基本二阶网络的 直接型实现 )( zX )( zY1z1zc o s2 r2r221111)(  zazazH ＝2c o s122 arar  ，2c o s122 arar  ，说明 : 对于二阶网络，其极点的半径 完全由系数 决定，极点在实轴上的坐标值 取决于系数。 2acosr 1ar1a 2a如果 、 用三位字长表示， b＝ 3(不算符号位 )， r87 cosr只能表达 8种半径 值和 之间的 15种实轴坐标值 三位二进码β 1,β 2,β 3 所表达的 的值 |a1 | 极点横坐标 a2三位二进码 所表达的 a2的值 极点半径 2c o s 1ar  321  、 2ar＝极点位置如下 图 中的网眼节点  如果所需要的极点位置不在这些网眼节点上时，就只能以最靠近的一个节点来代替这一极点位置，这样就引入了极点位置误差 R e[ x]j I m[ x]101a 1 = 1. 751. 501. 251. 000. 750. 500. 25a 1 = － 0. 25－ 0. 50－ 0. 75－ 1. 00－ 1. 25－ 1. 50－ 1. 75a 2 = 0. 1250. 2500. 3750. 5000. 6250. 7500. 875系数量化使零极点位置的取值范围由一个连续域变为一个离散的平面点阵，从而造成零极点的漂移，导致系统特性的改变。 在平面上量化位置的分布密度是不均匀的  在实轴附近分布得稀，在虚轴附近分布得密；  半径小的地方分布得稀，半径大的地方分布得密。 这祥就会使实轴附近的极点 (例加低通、高通滤波器 )量化误差较大、而对虚轴附近的极点 (例如带通滤波器 )量化误差较小 这种分布只是二阶直接型结构的情况，不同结构的滤波器，系数对零极点位置的影响是不一样的 结论： )( nx)( ny1z1zco srcosrsinrs inr该网络的系统函数为 ： 221)( c os211)(  zrzrzH ＝当系数量化时，是对 及 进行量化，因而所得到的网格点子在 z平面是均匀分布的 cosrsinr这里系数量化后对 z平面的所有区域，所产生的误差是相同的。 基本二阶网络的另一种实现 具有共轭极点对的二阶数字网络耦合形式实现情况下，系数量化为三比特时极点的可能位置 频率响应偏差的统计分析 IIR数字滤波器系数量化的统计分析 N阶 IIR直接型结构为例，其理想精度的系统函数为 )()(1)(10zAzBzazbzHNiiiMiii＝＝其中 是系数 ai、 bi的量化结果： ii ba ˆˆ、对系数 ai、 bi量化后，其实际传递函数为： ，＝ iii aaa ˆ iii bbb ＝ˆ故系数量化后 ， 实际的系统函数为 NiiiMiiizazbzH10ˆ1ˆ)(ˆ ＝ )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(1ˆ1100zHzHzAzAzHzAzBzHzAzBzAzAzBzBzAzBzAzAzBzBzazazbzbzHENiiiNiiiMiiiMiii＝＝＝＝＝得到系统函数的偏差为 )()()()()()()(ˆ)(zAzAzHzAzBzHzHzHE  ＝＝Niii zazA1)( ＝Miii zbzB0)( ＝式中 )()(ˆ)(  jjjE eHeHeH ＝系数量化造成的系统频率响应的偏差 系数量化的统计分析模型 可以用频响的均方偏差来描述 系数量化所引起的频率特性偏差   c EEjE zdzzHzHjdeH )()(2 1)(2 1 122    ＝＝均方偏差 也是一个随机变量．它的均值即为频响偏差 2 2 c ccNhkcMrrzdzzAzAzHzHjNzdzzAzAjMqzdzzAzAzHzHjaEzdzzAzAjbE)()()()(2)()(12112)()()()(21][)()(121][111211121022 ＝＝ FIR数字滤波器系数量化的统计分析 设 FIR滤波器的系统函数为 NnnznhzH0)()( ＝)(nh )(ˆ nh对各系数 进行量化成为 )()()(ˆ nenhnh ＝   N0N0N0)()()(ˆ)(＝＝＝ nnnnnn zneznhznhzH有： 令 ， ， 则 N0)()(＝nnznezE jez )()(ˆ)( zHzHzE ＝Nnjni eneeE0)()(  ＝NnNnjnNnjni neeneeneeE000|)(||||)(|)()( ＝＝ 所以 Nnne0|)(|FIR系数量化时 ， 系统函数产生的误差不会超过 2)1(|)(|)(0qNneeE Nni  所以 当作定点舍入处理时 ， 因为 2|)(|qne  数字滤波器的运算量化效应 为了便于用统计方法分析这些量化误差的平均效应，我们假定  所有这些噪声都是平稳的白噪声序列；  所有噪声都与信号不相关 ， 并且各噪声之间也互不相关  每个误差噪声都在其误差范围内呈均匀等概率分布 IIR滤波器 定点运算舍入误差的统计 分析 a理想相乘 b实际相乘的非线性流图 c统计模型的线性流图 )( nx )( nya )( nx )( nya   )(ˆ ny )( nx a )(ˆ ny)( ne定点相乘运算的流图表示 采用统计分析方法后 ， 实际的输出可以表示为 )()()(ˆ nenyny ＝ IIR滤波器 定点运算舍入误差的统计 分析 a理想相乘 b实际相乘的非线。