第7章导数与微分的matlab求解

第7章导数与微分的matlab求解内容摘要：

具有 直到 阶的导数，则对任一 ，有 其中 这里 是 与 之间的某个值。 多项式 称为函数 按 的 幂展开的 次 泰勒多项式，上述公式 称为 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项 的 阶泰勒公式，而 称为 拉格朗日型余项。 函数的单调性与曲线的凹凸性 1 函数单调性的判定法 设函数 在 上连续，在 内 可导， 在 上任取两 点 ， 应用拉格朗日中值定理，得到 由于 ，因此，如果 在 内导数 保持正号， 即 ，那么也 有。 于是 即 表明 函数 在 上 单调增加。 同理，如果 在 内导数 保持 负号， 即 ，那么也 有。 于是 ， 即 ， 表明 函数 在 上 单调减少。 归纳 以上讨论，即得以下定理：设 函数 在 上连续，在 内 可导，  如果在 内 ， 那么 函数 在 上 单调增加；  如果在 内 ， 那么 函数 在 上单调减少。 拐点 我们 从几何上可以看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有的曲线弧，则正好相反。 曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。 因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。 设 在区间 上 连续，如果对 上 任意两点 ， 恒 有 那么称 在 上 的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒 有 那么 称 在 上 的图形是（向上）凸的（或凸弧）。 如果 函数 在区间 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。 这里仅 就 为闭区间的情形来叙述曲线凹凸性的判定定理， 当 不是闭区间时，定理类同。 设 在区间 上连续， 在 内具有一阶和二阶导数，那么  若在 内 ，则 在 上的 图形是凹的；  若在 内 ， 则 在 上 的图形是凸的。 一般 的， 设 在 区间 上连续 ， 是 的 内点，如果 曲线 在 经过 点 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 为 曲线的拐点。 函数的极值与最 值 法 设函数 在 点 的某 邻域 内有定义，如果对于去心 邻域 内的 任一 ， 有 那么就 称 是 函数 的一个极大值（或极小值）。 函数 的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 下面给出可导函数取得极值的必要条件和充分条件： 必要条件： 设 函数 在 点 处 可导，且在 处 取得极值， 那么。 第一充分条件： 设函数 在点 处 连续，且 在 的某去心 邻域 内 可导， 若 时， ， 而在 时， ，则 在 点 处 取得极大值； 若 时 ， ， 而在 时 ， ，则 在点 处 取得极小值； 若 时， 的 符号保持不变， 则 在 处 没有极值。 第二充分条件： 设函数 在点 处 具有二阶导数， 且 ， ， 那么 当 时， 函数 在 处 取得极大值； 当 时 ， 函数 在 处 取得极小值。 问题 在 求函数的最大值（或最小值）时，特别值得指出的是下述 情： 在 一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点，并且这个 驻点 是函数 的极值点，那么，当 是 极大值时 ， 就是 在 该区间上的最大值；当 是 极小值时 ， 就是 在该区间上的最小值。 曲线的 渐近线 如果 存在 直线 ，使得当 时 ， 曲线 上 的动 点 到直线 的 距离 ，则 称 为曲线 的 渐近线。 渐近线 通常有。