第4章特征值问题和二次型

第4章特征值问题和二次型内容摘要：

1223231pxxxx线性无关特征向量为得 由于线性无关特征向量个数为 2≠3， 因此该矩阵不能对角化 . (4)可对角化矩阵的简单应用 (i)由特征值和特征向量反求矩阵 A: A=PΛ P–1 (ii) 求方阵的幂 : Ak=PΛk P–1 例 3 3阶方阵 A有三个不同的特征值 λ1=1,λ2=2, λ3 , 对应的特征向量分别为 ,211,212,011321 ppp.,)2(。 ,)1(,61 2031 AAAA 求已知 解 ,61 1  AA；得 3,612 11)1( 333211  A(2)令 P=(p1, p2, p3) 则 P–1AP=Λ 321.322121101211101121103212201111211 PPA2111011211032122011112120202012020PPA.3)32(2)32(2)31(2132132)31(2132132202020202020202020202020202021.1010201012. .,4512422421.11AAPAPPyxyxA这里为对角阵，使求可逆矩阵求相似与设矩阵思考练习 (1)实对称矩阵特征值与特征向量的性质 定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数。 (ii)实对称矩阵 A的对应于不同特征值的特征向量相互正交。 (iii)实对称矩阵的 每个 特征值的代数重数与几何重数相等 . 定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数。 (ii)实对称矩 阵 A的对应于不同特征值的特征向量相互正交。 (iii)实 对称矩阵的 每个 特征值的代数重数与几何重数相等 . 证 (ii)设 λ1,λ2为 A的两个不同特征值 ,1,2为对应的 特征向量 ,即 Ai= λi i ( i=1,2) 因 2TA1= 2Tλ11= λ12T1 2TA1= 2TAT1= (A2)T1= (λ22)T1 =λ22T1 故 λ12T1=λ22T1即 (λ1 λ2 )2T1=(λ1 λ2 )[2,1]=0， 但 λ1 λ2，因此 [2,1]=0，即 2与 1正交 . (2)实对称矩阵的对角化 定理 若 A为 n阶实对称矩阵 ,则存在正交矩阵 Q，使 Q–1AQ= QTAQ =Λ 为对角阵 ,Λ的对角线上的元素为 A的 n个特征值 .(证略 ) 用正交矩阵化 A为对角阵的步骤： (i) 由 | λE –A |=0求出 A的全部特征值 λ1, λ2,…, λn。 (ii)对每个 λi ,求方程组 ( λi E– A )x = 0 的基础解系 即为 A的属于特征值 λi 的线性无关特征向量。 (iii) 将线性无关特征向量正交化 、 单位化 ， 令 Q=(q1, q2, … , qn) 则 Q为正交矩阵，且使 Q–1 AQ= QT AQ =Λ 为对角阵 . 例 1 解 (i) .,1111111111为对角阵，使求一个正交矩阵设AAQAT；的特征值得 3,0 321  A),3(1111111112   AE由.0)0(032  xAE时，解当 0000001111111111110 AE由(ii)。 101,011,21321  线性无关特征向量为得 xxx.0)3(33  xAE时，解当 0001101012111211123 AE由。 111, 33231线性无关特征向量为得xxxx(iii) 正交化、单位化 ,01111  取.2112101121101],[],[331111222     ；.313131,626161,02121333222111qqq令 Q=(q1, q2, q3) 则 Q为正交矩阵，且使 Q–1 AQ= QT AQ =Λ 为对角阵 . 31620316121316121.300① 实对称矩阵 A的重特征值对应的正交特征向量组的取法不唯一 ， 故 Q不唯一； ② 由于实对称矩阵 A的不同特征值对应的特征向量必正交 ，故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可 . 思考练习 .,0202120221为对角矩阵使正交矩阵求已知实对称矩阵AQA第 二次型简介 二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或 二次曲面方程为标准形问题 . 这里 首先介绍一些 基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一 个二次型化成标准形 . 最后讨论一类特殊的二次 型 ——正定二次型 . • 基本概念 • 化二次型为标准形的方法 • 正定二次型 返回 的二次齐次函数个变量含有 nxxxn , 21 称为 n元二次型，简称 二次型 . 称为 二次型的系数 . (1)二次型定义 ),2,1,( njia ij 22232232222113113211221112122222),(nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf。