第3章离散时间系统的频域分析——傅里叶变换

第3章离散时间系统的频域分析——傅里叶变换内容摘要：

是周期为 N的周期序列，则 ( ) ( )mnND F S W x n X k m ()xn(4)周期卷积和 12( ) ( ) ( )Y k X k X k若 则有： 111 2 2 100( ) [ ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )NNmmy n I D F S Y kx m x n m x m x n m   记作： 12( ) ( ) * ( )y n x n x n第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 例 35 两个周期序列 N=6序列 和 如图 (a),(b)所示，求 他们的卷积和。 ()yn1()xn 2()xn解 : N 0 1 2 N1 N m 1()xmN 0 1 2 N1 N m 2()xmN 0 1 2 N1 N m 2 (0 )xmN 0 1 2 N1 N m 2 (1 )xm第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 N 0 1 2 N1 N m 2 (2 )xmN 0 1 2 N1 N m 2 (3 )xmN 0 1 2 N1 N m 12( ) ( 2 )x m x mN 0 1 2 N1 N n ()yn( ) ( 2 )x m x m()yn第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 如果 12( ) ( ) ( )y n x n x n则   111 2 2 10011( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNllY k D F S y n X l X k l X l X k lNN    第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 有限长序列的离散傅里叶变换 (DFT) 设 x(n)为有限长序列，长度为 N，即 x(n)只在 n=0,1,…N 1有 值，其他值时， x(n)=0。 因此，可以把 x(n)看作周期为 N的 周期序列 的一个周期，即 ()xn( ) 0 1()0x n n Nxno th e r s  也可利用矩形序列表示成为 把 看作有限长序列 x(n)以 N为周期的周期延拓，表示为 ( ) ( ) ( )Nx n x n R n()xn( ) ( )rx n x n rN  第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 通常我们把 的第一个周期 n=0,1,…,N 1定义为主值区间， 称 x(n)为 的主值序列。 ()xn()xn为了书写方便，将上式简写为： ( ) ( ( ) ) Nx n x n其中， 表示数学上“ n对 N取余数”，或称为“ n对 N取模值。 (( ))Nn例如： ()xn 是周期为 N=8的序列，则有 888( 8 ) ( ( 8 ) ) ( 0 )( 9 ) ( ( 9 1 1 8 ) ) ( 1 )( 4 ) ( ( 4 4 1 8 ) ) ( 4 )x x xx x xx x x          第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 有限长序列的傅里叶变换的定义： (DFT) 正变换： 反变换： 10( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , .. ., 1NnkNnX k D F T x n x n W k N   101( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , .. ., 1N nkNnx n I D F T X k X k W n NN   例 36 已知 ，求 x(n)的 8点 DFT和 16点 DFT 4( ) ( )x n R n解： N=8时 273 2 2 28800 4 8 8 81 ( )( ) ( )1 ()j k j k j kjkj n knkj k j k j k j knne e e eX k x n W ee e e e            第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 38s in2s in8jkkek 0 , 1 , .. ., 7k 当 N=16时 21 5 3 2 4 4 4161600 8 1 6 1 6 1 61 ( )( ) ( )1 ( )j k j k j k j kj n knkj k j k j k j knne e e eX k x n W ee e e e             316s in4s in16jkkek 0 , 1 , .. ., 1 5k 第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 例 37 已知 ，求 的 N点 DFT。 ( ) ( )x n n ()xn解： 11000( ) ( ) ( ) 1 , 1 , ..., 1NNnk nkN N NnnX k x n W n W W k N     3. 离散傅里叶变换的性质 (1)线性   1122( ) ( )( ) ( )D F T x n X kD F T x n X k如果序列 和 长度都为 N，且 1()xn 2()xn则有：  1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )D F T a x n b x n a X k b X k  第 3 章 离散时间系统的频域分析 —— 傅里叶变换 (2) 序列的圆周移位性 若设 是 的圆周移位，即 ()yn ()xn    () NNy n x n m R n则 ( ) [ ( ) ] ( )mkNY k D F T y n W X k(3) 圆周卷积和 设有限长序列 和 ，长度分别为 和 ， 1()xn 2()xn 1N 2N12m a x [ , ]N N N 1()xn和。