第34课图形的相似

第34课图形的相似内容摘要：

泰安 ) 如图，将矩形纸片 A BC D 沿 EF 折叠，使点 B与 CD 的中点重合，若 AB ＝ 2 ， BC ＝ 3 ，则 △F CB ′ 与 △B ′DG的面积之比为 ( ) A ． 9 ∶ 4 B ． 3 ∶ 2 C ． 4 ∶ 3 D ． 16 ∶ 9 D 解析 设 BF ＝ x ， BF ′＝ x ，则 CF ＝ 3 － x ， ∵ 点 B ′为 CD 的中点， ∴ B ′ C ＝ 1 ， 在 Rt △ B ′ CF 中， B ′ F2＝ B ′ C2＋ CF2，即 x2＝ 1 ＋ ( 3 － x )2， 解得 x ＝53， ∴ CF ＝ 3 －53＝43， ∵∠ DB ′ G ＋ ∠ DGB ′＝ 90 176。 ， ∠ DB ′ G ＋ ∠ CB ′ F ＝ 90 176。 ， ∴∠ DG B ′ ＝ ∠ CB ′ F ， ∴ Rt △ DB ′ G ∽ Rt △ CFB ′ ， 根据面积比等于相似比的平方可得， S △ FCB ′S △ B ′ DG＝FCB ′ D2＝ (43)2＝169. 题型分类 题型一 三角形相似的判定 【例 1 】 如图，小正方形的边长均为 1 ，则下列图中的三角形( 阴影部分 ) 与 △A BC 相似的是 ( ) A 解析 分析可以看出图中 △ ABC 是钝角三角形，其钝角为 13 5 176。 ，且夹这个角的两边的比为 2 ∶ 2 ＝ 2 ∶ 1 ，只有 A 选项中的三角形符合条件．根据相似三角形的判定定理，它们是相似三角形． 探究提高 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力． 题型分类 题型一 三角形相似的判定 知能迁移 1 如图，在 △A BC 中， DE ∥BC ， EF ∥A B. 求证： △A DE ∽△E FC . 证明 ∵ DE ∥ BC ， EF ∥ AB ， ∴∠ AED ＝ ∠ C ， ∠ A ＝ ∠ CE F ， ∴△ ADE ∽△ E FC . 【例 2 】 如图，在梯形 A BC D 中， A D ∥B C ， ∠B ＝ ∠A CD . ( 1) 请再写出图中另外一对相等的角； ( 2) 若 AC ＝ 6 ， BC ＝ 9 ，试求梯形 A BC D 的中位线的长度． 解 (1 ) ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DA C ＝ ∠ BCA. (2 ) ∵∠ B ＝ ∠ ACD ， ∠ BCA ＝ ∠ DA C ， ∴△ BC A ∽△ CAD ， ∴ BCCA ＝ CAAD ， ∴ AC 2 ＝ BC AD ，即 6 2 ＝ 9 AD ， AD ＝ 4 ， ∴ 梯形 AB CD 的中位线＝ 12 (AD ＋ B C) ＝ 12 (4 ＋ 9) ＝ . 答：梯形 AB CD 的中位线的长度是 6. 5. 解 (1 ) ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DA C ＝ ∠ BCA. (2 ) ∵∠ B ＝ ∠ ACD ， ∠ BCA ＝ ∠ DA C ， ∴△ BC A ∽△ CAD ， ∴BCCA＝CAAD， ∴ AC2＝ BC AD ，即 62＝ 9 AD ， AD ＝ 4 ， ∴ 梯形 AB CD 的中位线＝12(AD ＋ B C) ＝12 (4 ＋ 9) ＝ . 答：梯形 AB CD 的中位线的长度是 6. 5. 探究提高 本题主要考查相似三角形的判定、性质，相似三角形性质的应用等 ． 题型分类 题型二 相似三角形的性质 知能迁移 2 如图，在直角梯形 A BC D 中， A D ∥B C ， ∠B ＝ 90 176。 ，E 是 AB 的中点，且 C E ⊥D E. ( 1) 请你判 断△ A DE 与 △BE C 是否相似，并说明理由； ( 2) 若 AD ＝ 1 ， BC ＝ 2 ，求 AB 的长． 解 ( 1) 相似，理由如下： ∵ AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90 176。 ， ∴∠ A ＋ ∠ B ＝ 1 80 176。 ， ∴∠ A ＝ ∠ B ＝ 90 176。 ， ∴∠ ADE ＋ ∠ A ED ＝ 90 176。 . ∵ CE ⊥ DE ， ∴∠ CED ＝ 90 176。 ， ∠ AED ＋ ∠ B EC ＝ 90 176。 ， ∴∠ ADE ＝ ∠ B EC . 又 ∵∠ A ＝ ∠ B ， ∴△ AD E ∽△ BE C . ( 2) ∵△ ADE ∽△ BEC ， ∴ADEB＝AEBC. ∵ E 是 AB 的中点， ∴ AE ＝ BE ＝12AB ， ∴ AE2＝ AD BC ＝ 1 2 ＝ 2 ， AE ＝ 2 ， ∴ AB ＝ 2 AE ＝ 2 2 . 答： AB 的长为 2 2 . 解 ( 1) 相似，理由如下： ∵ AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90 176。 ， ∴∠ A ＋ ∠ B ＝ 1 80 176。 ， ∴∠ A ＝ ∠ B ＝ 90 176。 ， ∴∠ ADE ＋ ∠ A ED ＝ 90 176。 . ∵ CE ⊥ DE ， ∴∠ CED ＝ 90 176。 ， ∠ AED ＋ ∠ B EC ＝ 90 176。 ， ∴∠ ADE ＝ ∠。