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qqq骣 182。 247。 231。 247。 = 231。 247。 231。 247。 231。 182。 桫E( ) ( ) ( ) ( )2211l o g。 l o g。 , nn in i niifXl f X l qq q qq==182。 ⅱ==182。 邋ll( ) ( )1ˆnnIq q=V21 渐近正态性  令 ，在满足合适的正则条件下，  换句话说，  用标准方差的估计值 代替 se，该结论仍然成立，即  因此对任意极大似然估计量，我们可以近似其置信区间。 ( ) ( )ˆ ˆnnse qq= V( )( ) ( )2 1ˆ ˆ,nnnN se NIq q q qq骣骣 247。 231。 247。 231。 247。 ?? 247。 247。 231。 231。 247。 231。 247。 桫 231。 桫181。 se( ) ( )ˆ 1,nns e Iqq= ( )ˆ 0 , 1n Nseqq181。 ( ) ( )ˆ ˆ1,n n nse Iqq=181。 ( ) ( )ˆ 0 , 1 ,ˆnnNseqqq 181。 ( )( ) 2ˆ ˆ,nnN seq q q骣 247。 231。 187。 247。 231。 247。 231。 桫22 证明： ( ) ( )1lo g。 nniil f Xqq==229。 l ( )( )( )1lo g。 ninnifXslqqqq=182。 162。 ==182。 229。 l ˆnq 为  的 M L E ，所以 ( ) ( )ˆ ˆ0n n n nsl qq 162。 == l。 在  处对 ( )ˆnns q 进行 T ay lo r 展开，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ0n n n n n ns s s Opq q q q q q q162。 = = + + 忽略高阶无穷小，得到 ( )( )( )( )( )ˆˆnnnnnnsslsqqqqqq = = ⅱ162。 23 证明 （续） ： 先考虑分子： ( ) ( )1。 nniis s Xqq==229。 ， 根据 C L T ， ( )ns q 的渐近分布为正态分布 由于 ( )( ) ( )( ) ( )。 0 ,。 iis X s X Iqqq q q==EV 所以 ( ) ( )( )0 , ns N n Iqq187。 再考虑分母： ( )( )2211lo g。 nniniiifXlZqqq==182。 ⅱ = = 182。 邋 其中( )( ) ( )22l o g。 , iiifXZ Z Iqqqq182。 = =182。 E ， 根据大数定理， 所以 ( ) ( )Pnl n Iqqⅱ 揪 ? 24 证明 （续） ： 综合 ： ( )( )( )( )( )ˆˆnnnnnnsslsqqqqqq = = ⅱ162。 ( ) ( )( )0 , ns N n Iqq187。 ， ( ) ( )Pnl nIqqⅱ 揪 ? ， 所以 ( )( )1ˆ0 , nNnIqqq骣247。 231。 247。 ?231。 247。 231。 247。 247。 231。 桫， 即( )( )ˆ1, 0 , 1ns e NnI s eqqq=?。 25 证明 （ 续 ） ： 假设 ( )I q 为 θ 的连续函数，由于ˆPnqq揪 ? 根据 S l u ts k y 定理 ( e ) ， ( ) ( )ˆPnIIqq揪 ? 181。 ( )( )( )( )( )( )ˆ11ˆ ˆˆ ˆnnnnnInIse n I Iqqqq q q qqqq= = ? ( )( )ˆˆnnIseIqqqq=? 由于 ( )ˆ0 , 1nNseqq 187。 ，( )( )1ˆPnIIqq揪 ? ， 所以181。 ( )ˆ0 , 1nNseqq 187。 26 渐近正态置信区间  令  则当 时，  即 为 置信区间。  例： ，所以 95%置信区间为 181。 ( ) 181。 ( )( )22ˆ ˆ ˆ ˆ,n n n n nC z s e z s eaaq q q q= +n ( ) 1nCq qa萎 PnC1 a20 . 0 5 , 1 . 9 6 2z aa = = ?181。 ( )ˆ ˆ2nnseqq177。 27 多维参数模型  令 ， MLE为  则  定义 Fisher信息矩阵为  为 的逆矩阵。 ( )1 , Kq q q=? ( )1ˆ ˆ ˆ, Kq q q=?( ) ( )222l o g。 l o g。 , iij j j kj j kf X f XHH qqq q q抖==抖 ?( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )11 12 121 22 212.........KKK K KKH H HH H HH H HIq q qq q qq q qq轾 犏犏 犏=犏犏犏 犏臌M M M ME E EE E EE E E( ) ( )1JIqq= ( )I q28 多维参数模型  在合适的正则条件下，  同时，若 为 的第 j个成分，则  其中 为矩阵 的第 j个对角线上的元素  和 的协方差近似为 ( ) ( )ˆ 0 , nNqq Jˆjq jq( ) 181。 ( )2ˆ 0 , jjj N s eqq181。 ( )2 ,j ns e j jJ= nJˆjq ˆkq ( ) ( )ˆ ˆ,j k nC o v j kqq 187。 J29 例： Bernoulli分布  例 ：令 。