数学模型mathematicalmodel

数学模型mathematicalmodel内容摘要：

222sssss不可行可行可行可行不可行——————————45 第二次渡河： 对于 d1(0, 1) 由此可见，应排除单人渡河的方案。 )2,3(2s)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(22222ddddd)3,5()4,3()3,4()3,3()2,4(33333sssss不可能不可能不可能还原为原状态不可能——————————46 第二次渡河： 对于 d1(1, 1) )2,2(2s)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(22222ddddd)2,4()4,2()3,3()3,2()2,3(33333sssss不可能不可能还原为原状态不可行可行——————————47 第二次渡河： 对于 d1(0, 2) 因此，第二次渡河时，可采取的策略为： d1(1, 1)  d2(1, 0) 或 d1(0, 2)  d2(0, 1) )1,3(2s)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(22222ddddd)1,5()3,3()2,4()2,3()1,4(33333sssss不可能还原为原状态不可能可行不可能——————————48 这一方法实际上是一种搜索技术。 类似进行以上分析，可寻找出渡河方案。 49 x y 3 3 2 2 1 1 O 模型求解 ——图解法 状态 s = (x, y)  16个格点  10个 点 允许决策： 移动 1 或 2 格。 k 奇 , 左下移。 k 偶 , 右上移 s1 sn+1 d1, , d11给出安全渡河方案 评注和思考 规格化方法，易于推广  考虑 4 名商人各带一随从的情况 d1 d11 允许状态 S S = {(x, y)  x = 0, y = 0, 1, 2, 3。 x = 3, y = 0, 1, 2, 3。 x = y = 1, 2}  考虑 汉诺塔的问题 50 背景 人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到 ―地球在变小 ‖，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。 如何预报人口的增长 51 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口 (亿 ) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2020 人口 (亿 ) 52 影响人口的因素很多： 人口的多少，出生率、死亡率的高低，人口男女比例大小，人口年龄构成情况，工农业生产水平高低，各民族的风俗习惯，自然灾害，战争，人口迁移等。 我们先把问题简化，只考虑人口增长的主要因素 ——增长率 （ 出生率 – 死亡率 ） ， 其余因素暂不考虑，建立一个较粗的数学模型。 在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响，从而建立一个比一个与实际更加吻合的数学模型。 下面仅介绍几个最简单、最典型的人口增长模型。 53 指数增长模型 两个基本模型 kk rxx )1(0 x(t) ： 时刻 t 的 人口 基本假设 ：人口（相对）增长率 r 是常数 trtx txttx  )( )()(今年人口 x0，年增长率 r（保持不变 ）， k 年后人口 0)0(, xxrxdtdx  rtextx0)( trextx )()( 0 trx )1(0 随着时间增加，人口按指数规律无限增长（ r 0） — 最简单的人 口 增长模型 — 指数增长模型 — 马尔萨斯 (Malthus)提出 (1798) 54 指数增长模型的应用及局限性 与 19 世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于 19 世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合 19 世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19 世纪后人口数据，人口增长率 r 不是常数（逐渐下降） 55 阻滞增长模型（ Logistic模型 ） 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：  自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用  阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r(x) 为 x 的线性函数： r(x) = r – sx (r, s 0) r — 固有增长率 （ x 很小时 ） xm — 人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） )1()(mxxrxr r 是 x 的减函数 mxrs 0)( mxr56 rxdtdx  )1()(mxxrxxxrdtdx dx/dt x 0 xm xm/2 xm x txxxemm rt( )( ) 1 10t x 0 x(t) — S 形曲线 , x 增加先快后慢 x0 xm/2 57 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先 估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据采用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位：百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 …… 专家估计 r = , xm = 58 模型检验 用模型计算 2020 年美国人口，与实际数据比较 ]/)1990(1)[1990()1990()1990()2020( mxxrxxxxx 实际为 (百万 ) )2020( x模型应用 加入 2020 年人口数据后重新估计模型参数 r = , xm = x(2020) = — 预报美国 2020年的人口 Logistic 模型在经济领域中的应用 (如耐用消费品的售量 ) 59 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。 以下建模主要指机理分析。 二者结合 用机理分析建立模型结构， 用测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤 60。