山西建筑职业技术学院数学教研室

山西建筑职业技术学院数学教研室内容摘要：

1）当 x→∞ 时，函数的极限  描述定义：如果 |x|无限增大时，函数 f(x)总能与某常数 A无限接近，则称常数 A是 x趋于无穷时，函数 f(x)的极限 . Axfx  )(lim 精确定义：设函数 y=f(x)，若对任意给定正数 ε0，总存在正数 X，当 |x|X时，恒有 |f(x)A|ε，则称常数 A是 x趋于无穷时函数 f(x)的极限。 几何解释： 的意义是对任意给定正数 ε0，总存在正数 X，当 |x|X时，函数 f(x)的图形位于直线 y=A－ ε和y=A+ε 所夹的横条区域内。 Axfx  )(lim类似可定义： AxfAxf xx   )(lim,)(lim三者关系： AxfxfAxf xxx   )(lim)(lim)(lim2） x→x 0时，函数 f(x)的极限 三者关系：函数 f(x)当 x→ x0时极限存在的充分必要条件是 f(x)在 x0点的左极限，右极限分别存在且相等。 定义 1：设函数 y=f(x)在 x0的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正数 δ，使得当0|xx0|δ时，总有 |f(x)A|ε恒成立，则称常数 A为函数 y=f(x)在 x→ x0时的极限，记为 或 Axfxx  )(lim0)()( 0xxAxf 定义 2： ，只需把 0|xx0|δ改为 Axfxx  )(lim000 xxx  定义 3： ，只需把 0|xx0|δ改为 Axfxx  )(lim0 00 xxx (左极限） (右极限） 例 1：求 当 x→0 时左、右极限，并说明当 x→0 时的极限是否存在 xxxf ||)( 例 2：讨论函数 当 x→1 ， x→2 时的极限是否存在 xxxxxxf21211210)(2第四节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小的性质 四、无穷小与无穷大的关系 五、无穷小的比较 第四节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 定义：如果函数 f(x)当 x→ x0（或 x→∞ )时极限为零，则称函数 f(x)为 x→ x0（或 x→∞) 时的无穷小量，简称为无穷小。 即 0)(lim0 xfxx 0)(lim  xfx注 ：（ 1） 无穷小量是一个变量，并非常数。 常函数中只有 y=0可以看作无穷小量。 （ 2）说一个变量是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。 二、无穷大量 定义：如果当 x→ x0（或 x→∞ )时函数 f(x)的绝对值无限增大 ，则称函数 f(x)为 x→ x0（或 x→∞) 时的无穷大量，简称为无穷大。 可记为 或  )(l i m0xfxx )(lim xfx注 ：（ 1） 无穷大量是一个变量，不能把绝对值很大的数与无穷大混为一谈。 （ 2）说一个变量是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。 （ 3）在自变量的某种变化趋势下，如果f(x)取值无限增大， 绝对值无限增大，则可称函数为正无穷大；若 f(x)取值无限减小， 绝对值无限增大， 则可称函数为负无穷大。 分别记为 )(lim)( 0xfx xx)(lim)( 0xfx xx三、无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质 （ 1）有限个无穷小的代数和为无穷小 （ 2）有限个无穷小的乘积是无穷小。 （ 3）有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 注：如果将性质中的有限个无穷小换为无限个无穷小，则结论不一定成立。 如 01)111(lim    个nn nnn01s inlim 0  xxx 0c o s1l im  xxx函数极限与无穷小的关系 定理：在自变量的同一变化过程 x→ x0（或 x→∞) 中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。 关于性质（３）的应用 四、无穷大与无穷小的关系 在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)为无穷大，则 为无穷小。 反之 f(x)如果为无穷小，且不为零则 为无穷大。 )(1xf)(1xf如若 f(x)－ 5是 x→ 3时的无穷小，则 ；反 之， ，则 f(x)－ 5一定。