第十四章polya计数法141置换群于对称群

第十四章polya计数法141置换群于对称群内容摘要：

1......1......21......1......21nkknknknkn 当反时针旋转 (360/n)度 后 ,我们就有： 更一般地有： 从而 是置换群 ， 也是 循环群。 11   nnn 1, . . .. .2,1,0。 )( 1   nkknnkn 对于)}, . . . . .,({ 1210 nnnnn 24 例 (二面体群 ) 考虑正 n边形 (各顶点依次标以 1,2.…, n)上的两类运算 : 第一类是绕重心 O(逆时针 )旋转 (2π)/n弧度可产生 n种不同的图案，对应于 X的 n个不同的置换。 第二类是当 n为奇数时绕各边的中垂线翻转180176。 ，或当 n为偶数时绕各对角线及各对边中垂线 (共 n条 )翻转 180176。 从而无论 n是奇数还是 25 偶数，又可产生 n种不同的图案， 对应于 X的 n种 不同的置换。 不难发现 ， 以上 2n种置换在相继运动 (旋转或翻转 )下构成一置换群 ， 这类群常称为 2n阶的 二面体群。 一个几何图形关于它的对称点旋转 、 对称轴翻转 、 对称面反转都看成它在运动。 26 例：正方形角点标以 4， 边标以 a、 b、 c、 d,那么正方形存在两种类型的 8个对称。 1 a 4 3 2 d c b 围绕正方形中心旋转 0176。 ,90176。 , 180176。 , 270176。 ,这四个运动都在平面上 ,我们称为 平面对称。 再关于两条对角线 、 两条中位线翻转得到四个对应置换。 它们是在空间中进行的。 27 对平面和空间运动产生的置换描述如下： ：。 32144321。 21434321。 14324321。 4321432134241404：。 12344321。 34124321。 41234321。 23414321432128 故正方形的角点构成的对称群是： 可以验证，它们中有下列关系： 那么我们又可以修改对称群为： 同理，我们用边的标示 a,b,c,d替换点对称后也能得到边对称群。 },,{ 432134241404 cG134122143 ,   nn },,{ 131412134241404   nncG 29 将前面的结论推广到正 n边形上去 ， 我们 能够得到 n个旋转： 和 n个翻转： 如果 n为偶数 ， 则有 n/2 个关于对角线和 n/2 个关于中位线的翻转；如果 n为奇数 ， 则有 n个中垂线的翻转。 关于 {1,2,3,..n}的 2n个置换构成群记为： nnnnnn  ,......, 3210n , . . . . . . , 321},.. .. ,,.. .. .,{ 3211241404 nnnnD  30 例 (四面体群 ) 考虑正四面体 (各顶点依次标以 1,2,3, 4)， 任选一顶点 ， 不妨取 4,以 4与 1, 2, 3面的顶垂线为轴 , (顺时针 )旋转 2π/3弧度可得3种不同的图案。 由于四面体有 4个顶点， 故共可产生 3 4=12 种不同的图案， 这些图案在以上动作 (旋转 )下构成的群称为 四面体群。 4 3 2 1 31 显然易见 ， 四面体群的阶是 12。 类似的还有 正六面体 、 正八面体 、 正十二面体及正20面体群。 例 (10阶二面体群 ) 如图所示 ， 正五边形的顶点标示以 1,2,3,4,5。 它的对称群 包含 5个平面旋转和 5个 空间翻转 ， 它们分别是： 1 4 3 2 5 32 5123454321。 34512543211234554321。 4512354321。 2345154321。 4321554321。 3215454321。 2154354321。 1543254321。 54321543215。