第五篇电磁学

第五篇电磁学内容摘要：

x/(2b)]/[0a] 电通量 高斯定理 一 .电场线 1. 定义形象直观的描述电场 E 2. 电场的图示法 方向 : 沿切线正向。 大小 : 用疏密表示 疏 ,E小 . 密 ,E大。 电场线数密度 de/dS  dS n dS39。 电通量 高斯定理 E=de/dS  dS⊥ E, 即 dS ∥ E. 3. 几种特殊电场的电场线 (1)点电荷 正 ,发散。 负 ,收敛 . (球对称 ): (3)无限大带电平面 平行 ,等距 (2)两点电荷 起于正终于负 . 26 E=de/dS  dS⊥ E, 即 dS ∥ E. 3. 几种特殊电场的电场线 (1)点电荷 正 ,发散。 负 ,收敛 . (球对称 ): (3)无限大带电平面 平行 ,等距 (2)两点电荷 起于正终于负 . (1)起于正电荷终于负电荷； (2)不闭合 ,不相交 ,连续 . E dS 39。 二 .电通量 通过电场中一给定曲 面的电场线的总条数 . (1)过微小曲面 dS的电通量 de dS E dS为 dS在垂直 方向的投影 θ dS= dScosα de=EdS  =EdScosα n θ =EdS (2)过某曲面 S的电通量 e e= S SE c o sd   S SE d 电通量 高斯定理 27 (1)起于正电荷终于负电荷； (2)不闭合 ,不相交 ,连续 . E dS 39。 二 .电通量 通过电场中一给定曲 面的电场线的总条数 . (1)过微小曲面 dS的电通量 de dS E dS为 dS在垂直 方向的投影 θ dS= dScosα de=EdS  =EdScosα n θ =EdS (2)过某曲面 S的电通量 e e= S SE c o sd   S SE d 电通量 高斯定理 (1)电通量 e是标量 ,不是矢量。 (2)计算电通量时要对面选取 法线方向 (闭合曲面的法线指 向面外 ). 求电通量大小时一 般让 n与 E的夹角小于 π/2. 例 Q产生的电场中 ,求通过如图所示的圆面的电通量 . x R Q 解 : 设 圆面法线向 左 , n 取细圆环面元 dS=2πrdr r dr E=Q/[4πε0(x2+r2)] E θ cosθ=x/(x2+r2)1/2 dΦe=Ed S=EdScosθ =2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2] =xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] 28 (1)电通量 e是标量 ,不是矢量。 (2)计算电通量时要对面选取 法线方向 (闭合曲面的法线指 向面外 ). 求电通量大小时一 般让 n与 E的夹角小于 π/2. 例 Q产生的电场中 ,求通过如图所示的圆面的电通量 . x R Q 解 : 设 圆面法线向 左 , n 取细圆环面元 dS=2πrdr r dr E=Q/[4πε0(x2+r2)] E θ cosθ=x/(x2+r2)1/2 dΦe=Ed S=EdScosθ =2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2] =xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] R0=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2 R0=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 或用 通过圆面对应球冠面的电通 量来计算 : S=2πR0h =2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x] =2π [R2+x2–x(R2+x2)1/2] E=Q/(4πε0R02) =Q/[4πε0(R2+x2)] Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 电通量 高斯定理 29 Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2] R0=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2 R0=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 或用 通过圆面对应球冠面的电通 量来计算 : S=2πR0h =2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x] =2π [R2+x2–x(R2+x2)1/2] E=Q/(4πε0R02) =Q/[4πε0(R2+x2)] Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0) 电通量 高斯定理 三 .高斯定理 求过闭合曲面的电通量 1. 点电荷激发的电场 (1)闭合曲面是以 电荷为心的球面 S Φe= Ed S S= [Q/(4πε0r2)]dS S=[Q/(4πε0R2)] dS S =Q/ε0 (2)闭合曲面是包围点电荷的 任意曲面 S 39。 Φ39。 e= Ed S S =Φe= Ed S S =Q/ε0 (3)闭合曲面不包围点电荷 30 三 .高斯定理 求过闭合曲面的电通量 1. 点电荷激发的电场 (1)闭合曲面是以 电荷为心的球面 S Φe= Ed S S= [Q/(4πε0r2)]dS S=[Q/(4πε0R2)] dS S =Q/ε0 (2)闭合曲面是包围点电荷的 任意曲面 S 39。 Φ39。 e= Ed S S =Φe= Ed S S =Q/ε0 (3)闭合曲面不包围点电荷 S 电场线进入高斯 面又穿出高斯面 Φe= Ed S S =0 将其分成若干点电荷 q=Σqi q激发电场 E是每个点电荷激 发电场 Ei 的矢量和 E=ΣEi Φe= Ed S S = ΣEd S S=Σ[ Ed S] S=Σqint/ε0 Σqint是高斯面 S所包围的电荷 . Ed S=Σqint/ε0 S这说明通过闭合曲面的电通 电通量 高斯定理 31 S 电场线进入高斯 面又穿出高斯面 Φe= Ed S S =0 将其分成若干点电荷 q=Σqi q激发电场 E是每个点电荷激 发电场 Ei 的矢量和 E=ΣEi Φe= Ed S S = ΣEd S S=Σ[ Ed S] S=Σqint/ε0 Σqint是高斯面 S所包围的电荷 . Ed S=Σqint/ε0 S这说明通过闭合曲面的电通 电通量 高斯定理 量 只与曲面内所包围电荷的 代数和有关 , 与曲面的形状 , 曲面外的电荷无关 . 注意 : 曲面上的电场强度与 面内外所有电荷有关 . 静电场是有源场 . (1)当 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 电场线从 S穿出 , 面内有 正源。 (2)当 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 电场线进入 S面 , 面内有 负源。 (3)当 Σqint=0, 有 Φe=0. 表明电 场线进入又穿出 S, 电场线连续。 32 量 只与曲面内所包围电荷的 代数和有关 , 与曲面的形状 , 曲面外的电荷无关 . 注意 : 曲面上的电场强度与 面内外所有电荷有关 . 静电场是有源场 . (1)当 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 电场线从 S穿出 , 面内有 正源。 (2)当 Σqint0, 有 Φe0. 表明有 电场线进入 S面 , 面内有 负源。 (3)当 Σqint=0, 有 Φe=0. 表明电 场线进入又穿出 S, 电场线连续。 三 .高斯定理的应用 方程 2. 用高斯定理求电场强度 例 R带电量为 Q的均匀带电球面在球内外产生的场强 . R Q 解 :由于电荷球对称 ,必然电场球对称 : E沿径向 , 且距球心 r相等处 E大小等 . 过场点作与带电球同心的球面 , S r 依高 斯定理 ,有  S SE d =Σqint/ε0 Q 4πε0R2 1/r2 r O R E 电通量 高斯定理 33 三 .高斯定理的应用 方程 2. 用高斯定理求电场强度 例 R带电量为 Q的均匀带电球面在球内外产生的场强 . R Q 解 :由于电荷球对称 ,必然电场球对称 : E沿径向 , 且距球心 r相等处 E大小等 . 过场点作与带电球同心的球面 , S r 依高 斯定理 ,有  S SE d =Σqint/ε0 Q 4πε0R2 1/r2 r O R E 电通量 高斯定理  S SE d = S SEd =E S Sd=4πr2E 当 rR: Σqint=0 E=0 当 rR: Σqint=Q E=Q/(4πε0 r2) 考虑方向 E=Qr/(4πε0 r3) 故 rR: E=0。 rR: E=Qr/(4πε0r3) 均匀带电球面在 球内的 场强 为零 ,在球外的场强等效于将 电荷集中在球心 的 点电荷产 生的场强 .其 E–r关系如图 . 用 高斯定理求场强的步骤 (1) 分析电荷与场的对称性。 (2) 选取合适的高斯面 (其目 的能将 写成 ES )。  S SE d34  S SE d = S SEd =E S Sd=4πr2E 当 rR: Σqint=0 E=0 当 rR: Σqint=Q E=Q/(4πε0 r2) 考虑方向 E=Qr/(4πε0 r3) 故 rR: E=0。 rR: E=Qr/(4πε0r3) 均匀带电球面在 球内的 场强 为零 ,在球外的场强等效于将 电荷集中在球心 的 点电荷产 生的场强 .其 E–r关系如图 . 用 高斯定理求场强的步骤 (1) 分析电荷与场的对称性。 (2) 选取合适的高斯面 (其目 的能将 写成 ES )。  S SE d(3) 用高斯定理列方程 , 解方 程 ,指出场的方向 . 对称性与对应高斯面 : 球对称 :球电荷 柱对称 :无限长柱电荷 面对称 :无限大面电荷 柱 形 高斯面 球形高斯面 高斯面上的 E : ① 大小处处等 , E  dS。 ② 大小处处不等 , EdS. 例 R带电量为 Q的均匀带电球体在球内外产生的场强 . R Q S r 电通量 高斯定理 35 (3) 用高斯定理列方程 , 解方 程 ,指出场的方向 . 对称性与对应高斯面 : 球对称 :球电荷 柱对称 :无限长柱电荷 面对称 :无限大面电荷 柱 形 高斯面 球形高斯面 高斯面上的 E : ① 大小处处等 , E  dS。 ② 大小处处不等 , EdS. 例 R带电量为 Q的均匀带电球体在球内外产生的场强 . R Q S r 电通量 高斯定理 解 :因电荷球 对称 ,电场球 对称 : E沿径 向 ,且距球心 r相等处 E大 小等 .过场点 作与球同心 的球面 ,有  S SE d = S SEd =4πr2E 当 rR: Σqint =ρ(4πr3/3) =[Q/(4πR3/3)](4πr3/3) Q 4πε0R2 1/r2 =Qr3/R3 考虑方向 ,有 E=Qr/(4πε0R3) 当 rR: Σqint=Q E=Q/(4πε0 r2) r O R E  S SE d =Σqint/ε0 R Q S r 36 解 :因电荷球 对称 ,电场球 对称 : E沿径 向 ,且距球心 r相等处 E大 小等 .过场点 作与球同心 的球面 ,有  S SE d = S SEd =4πr2E 当 rR: Σqint =ρ(4πr3/3) =[Q/(4πR3/3)](4πr3/3) Q 4πε0R2 1/r2 =Qr3/R3 考虑方向 ,有 E=Qr/(4πε0R3) 当 rR: Σqint=Q E=Q/(4πε0 r2) r O R E  S SE d =Σqint/ε0 R Q S r E=Qr/(4πε0 R3) rR: E=Qr/(4πε0。