第三章随机信号的功率谱估计

第三章随机信号的功率谱估计内容摘要：

15 Berg算法  Berg算法 设已知有限数据序列 x(n),n=0,1,…,N ，则可按下列步骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。 1. 置 m=0, 计算初值 )()()()(00200nxngnfnxPNn 2. m=m+1,并按 (19)计算反射系数 m： )1,...,1(,)1()1()(   mjaaa m jmmmjmj 4. 计算预测误差功率 Pm： 12 )1(  mmm PP  (16)式计算滤波器输出 )(),( ngnf mm6. 置 m=m+1, 并重复步骤 (2)(5), 直到 m=p。 16 Berg算法  Berg算法（续） 最后，由 Berg算法估计的滤波器系数 ppj Ppja 及),...,2,1( 计算功率谱密度： 21)(1)(pkjkpkpB u r geaPP17 内 容  随机信号的特征  经典谱估计与现代谱估计  参数模型法概述  基于 AR模型的谱估计法  最大熵谱估计算法  最小方差谱估计  基于矩阵特征分解的谱估计  高阶谱估计 18 最小方差谱估计  基本原理  MV谱与 ME谱或 AR谱的关系 19 最小方差谱估计  MVSE基本原理  三点说明 • 最小方差功率谱估计 (MVSE)，又称最大似然谱估 计，但实际上它并不是最大似然谱估计； • 提出者 [Capon,1969]也把这个方法叫做高分辨率谱估 计方法，但实际上其分辨率并不高于 AR模型法； • 尽管这样，但由于其思路独特，仍有了解的必要。 下面，讨论该方法的导出过程。 20 最小方差谱估计  MVSE基本原理  算法推导 将随机信号 x(n)通过 FIR滤波器 A(z): )1()()(0 pkkzkazA则其输出为 )2()()()(*)()(0aX Tpkknxkananxny  其中 TTpaaapnxnxnx)]() , . . . ,1(),0([)]() , . . . ,2(),1([aXy(n)的均方值，也就是 y(n)的功率，由下式给出 ：       )3()()()( *2 aRaaXXa pHHHH EnynyEnyE  式中 为 r(0),r(1),…, r(p)构成的 Toeplitz矩阵。 若 y(n)的均值为零，则 也是 y(n)的方差。  Tp E XXR *21 最小方差谱估计  MVSE基本原理  算法推导（续） 求滤波器的系数，有两个原则： • 在某一给定频率 处 ,x(n)无失真通过 ,这等效于要求： )4(1)()e x p ()()(0 ae iHpkiez kjkazA ij i式中 Tiii pjj )]e x p() , . .. ,e x p(,1[)(  e• 在 附近的频率分量被拒绝 ,即在 附近使 为最小。 为同时满足这两个原则，必须满足下式： i i )5(1)(}m i n {aeaRaiHpH这就是 “最小方差”谱估计 的来历。 22 最小方差谱估计  MVSE基本原理  算法推导（续） 利用 Lagrange乘子法求解 (5)式 ,得最小方差滤波器系数为 )()()(11ipiHipMV eReeRa)()(11 ipiHMV  eRe )()(1)(1  eRe pHMVP相应的最小方差为 从而，估计的最小方差谱为 应该注意 ， 并不是真正意义上的功率谱，因为 对 的积分并不等于信号的功率，但它描述了真正谱的相对强度。 )(MVP )(MVP23 最小方差谱估计  MV谱与 AR谱的关系 对自相关矩阵的逆矩阵 作 Cholesky分解，有 )8(11 Hpppp APAR  1pR其中 分别是 0阶 ~p阶 AR模型系数和激励功率 (即方差 )组成的矩阵，即 pp PA 、1)1()2()1()(1)2()3(1)1()2(1)1(1ppppppppppaapap。