南京外国语学校陈光立

南京外国语学校陈光立内容摘要：

例子中的共同特点 ? (1)结论是不是正确地概括了例子的共同特征。 (2)比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异。 (3)一次函数 、 二次函数 、 反比例函数等是否也具有 上述特征。 (4)进一步地 ， 你能举出一些 “ 函数 ” 的例子吗。 问题 5． 如何用集合的观点来表述函数的概念。 问题 6． 你认为对一个函数来说 ， 最重要的是什么。 案例 2 函数的单调性 问题 ： 说出气温在哪些时间段内是升高的或下 降的。 怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征。 问题 1： 观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势 ．（ 从图象中，你读到了哪些信息。 ） 问题 2： 你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗。 问题 3： 如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢。 能不能说 ， 由于 x＝ 1时 ， y＝ 3； x＝ 2时 ， y＝5就说随着 x的增大 ， 函数值 y也随着增大。 能不能说 ， 由于 x＝ 1， 2， 3， 4， 5， … 时 ，相应地 y＝ 3， 5， 7， 9， … 就说随着 x的增大 ，函数值 y 也随着增大。 如果有 n个正数 x1 x2x3 xn，它们的函数值满足 y1 y2y3 yn．能不能就说在区间 (0， +∞) 上随着 x的增大，函数值 y 也随着增大 ? 无限个呢。 通过讨论，结合图（ 2）给出 f (x) 在区间 I上是单调增函数的定义 问题 4： 如何定义单调减函数。 教学的艺术全在于如何恰当地提出问题和巧妙地引导学生作答 开课敲响“第一锤” 续课奏出 “ 最强音 ” 结课留下“满口香 ” 如果对于区间 (o， +∞)上 任意 两个值 x1和 x2，当 x1 x2时， 都有 y1 y2，那么可以说随着 x 的增大，函数值 y 也增大． 设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课 ，因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开 ，可以说 ， 在初始问题确定以后 ， 课的大体发展方向和框架就已经确定了 —— 它是会按照自身的逻辑展开的 ． 教师在设计好初始问题 (以及提出问题的方案 )， 准备好概略性解决方案 (不止一个 )和几种适应学生状况的思维模式以后 ， 再重点地弄清关键部分的细节 ， 就可以去上课了 ． 当然 ， 在上课时你可能会遇到不少意外的情况 ,但是只要坚持过程性教学原则 ， 不回避问题和矛盾 ，只要熟悉并应用数学文化的规范 ， 就一定会上好课 ——而且会出乎意料的精彩 、 自然和富有创造性 ． 课堂提问是在课堂教学过程中 ， 根据教学内容 、 目的 、 要求设置问题进行教学问答的一种形式 ． 它是教学过程的有机组成部分 ，是整个教学过程推进和发展的重要动力 ,是影响课堂教学的重要因素之一 ． 它具有强化知识信息的传输 、 评价学生学习的状态 、 调控课堂教学的进程 、 激发思维活动的开展 、 沟通师生感情的交流等多项功能 ． 3．重视思维活动 重视问题在数学教学中的作用 教学过程就是提出问题和解决问题的过程 重视提出问题的过程 重视对解决问题过程的调控 4．重视突出学科的结构 从章到节到问题 模式化的方法和程序 4． 1． 5 平面上两点间的距离 ● 已知 A(－ 1, 3)， B(3,－ 2)， C(6,－ 1)， D (2, 4)，四边形 ABCD是否为平行四边形。 除了用对边是否平行的判定方法 ， 还可以通过对边是否相等来判别 ． 下面我们先计算点 A (－ 1, 3) , B(3,－ 2) 间的距离 . 转化到坐标轴 特殊到一般 由此我们得到平面上 P1(x1, y1)， P2(x2, y2) 两点间的距离公式 21221221 )()( yyxxPP 严格证明 得到结论 案例 3 直线与方程 现在我们再来考察本小节开头的问题 ． 由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ， 所以 ， 只需说明对角线 AC 和 BD的中点相同 ， 即可推得四边形ABCD是平行四边形 ． 怎样来求线段 AC 中点的坐标呢。 转化到坐标轴 特殊到一般 类比猜想 严格证明 一般地，对于平面上的两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) , 线段 P1P2的中点是 M (x0, y0)，则 22210210yyyxxx∵ A(－ 1, 3), C(6,－ 1) ∴ AC 中点为 )1 ,25(第一步 证明方法凸现解析几何的基本思想 第二步 4． 1． 6 点到直线的距离 （活动课的设计） ●我们已经证明了图 4－ 1－ 23中的四边形 ABCD为平行四边形，如何计算它的面积呢。 方法 1 作垂线，得交点，转化为两点间距离． 方法 2 作坐标轴的平行线，构造直角三角形，转化为 斜边上的高． 用两点间的距离公式可求得 AB= ，因此，只要知道 AB边上的高，即点 D(或点 C)到直线 AB的距离，就能算出这个平行四边形的面积． 如何计算点 D到直线 AB： 5x＋ 4y－ 7＝ 0 的距离呢。 414119DE用方法 2 严格证明公式． “旁白”： 当 A＝ 0， B＝ 0时，公式也成立 进一步提出“思考”： 你还能通过其它途径求出点 P 到直线 l 的距离吗。 一般地，对于直线 l ： A x＋ B y＋ C=0 (A≠0， B≠0) 和直线外一点 P (x0， y0)，点 P 到 l 的距离为 2200 ||BACByAxd例 1 直接应用公式求点到直线的距离 例 2 求平行线间的距离 （转化） 例 3 解析法证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 应用 世界充满着变化 ， 有些变化几乎不被人们所感觉 ， 而有些变化却让人们发出感叹与惊呼 ． 例如 苏州市 2020年 4月 20日最高气温为 ℃ ， 而此前的两天 ， 4月19日和 4月 18日最高气温分别为 ℃ 和 ℃ ， 短短两天时间 ，气温 “ 陡增 ” ℃ ， 闷热中的人们无不感叹： “ 天气热得太快了。 ” 但是 ， 如果我们将该市 2020年 3月 18日最高气温 ℃ 与 4月 18日最高气温 ℃ 进行比较 ， 我们发现两者温差为 ℃ ， 甚至超过了 ℃ ． 而人们却不会发出上述感叹 ． 这是什么原因呢。 原来前者变化得 “ 太快 ” ， 而后者变化得 “ 缓慢 ” ． ● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢。 ● 这样的数学模型有哪些应用。 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动． —— 恩格斯 案例 4 导数及其应用 20 30 34 2 10 20 30 A(1, ) B(32, ) 0 C(34, ) T(℃ ) t(天 ) 图 411 2 10 ● 如何量化陡峭程度呢。 容易看出 B， C之间的曲线较 A， B之间的曲线更加“陡峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢． 在前面的案例中 ， “ 气温陡增 ” 的数学意义是什么呢。 为了弄清这个问题 ， 我们先来观察下面的气温曲线图 （ 以 3月 18日作为第一天 ） ． 例 1 婴儿从出生到第 24个月的体重变化 (如图 )， 试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率 ． 12 24 t(月 ) W(kg) 图 412 甲 乙 图 413 例 2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙 (如图 ) ， t秒钟后容器甲中水的体积为 V (t)=(单位 cm3) ， 计算第一个 10 秒内 V 的平均变化率 ． 例 3 已知函数 f(x) = x2，分别计算函数 f(x)在下列区间上的平均变化率． (1) (1， 3)； (2) (1， 2)； (3) (1， )； (4) (1， )． 例 4 已知函数 f(x) = 2x + 1， g(x) = 2x，分别计算在下列区间上函数 f(x)及 g(x)的平均变化率． （ 1） (3， 1)； （ 2） (0， 5)． 瞬时变化率 导数 ● 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢。 P 放大 再放大 P P 为了研究曲线上某一点 P处的变化趋势 ， 我们将点 P附近的曲线放大后进行观察 ． 我们发现 ， 曲线在点 P附近看上去有点像是直线 ． 如果将点 P附近的图形放大再放大 ， 我们发现点 P附近的曲线看上去几乎成了直线 ． 事实上 ， 如果继续放大 ， 可以发现点 P附近的曲线将接近 （ 逼近 ） 一条确定的直线 L， 该直线 L是经过点 P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 ． 1． 曲线上一点处的切线 因此，我们可以用这条直线 L来代替点 P附近的曲线，也就是说：在点 P附。