不等式约束问题

不等式约束问题内容摘要：

 1 ˆ ˆ, mh X h X线性无关  X m mZR   1 ˆ ˆ, mh X h XZZ线性无关 , m n mZX Z R Y RY   ˆ ˆ( , )T mmH Z YRZ  有逆矩阵 隐函数定理 ˆ ˆ( , )TH Z YZ邻域 以及在该邻域可导的函数 满足 如果 有逆矩阵，那么存在 的 ˆˆˆZXY ()FY     ˆ, 0 ( ) , ,H Z Y Z F Y Z Y B X    例如，线性函数 1()F Y b B N Y  ˆTTTFYNBY ,H Z Y A X b B Z N Y b    当 有逆矩阵时 ˆ ˆ( , )TTH Z Y BZ  ˆBX那么 和 就是下面原问题的局部最优解     m i n s . t . 0 , 1if Y g Y i l  ˆY       ( ) , , ( ) ,iif Y f F Y Y g Y g F Y Y记 如果 是下面 不等式约束问题 的局部最优解 ˆ ˆ()Z F YˆY m i n ( ) s . t . ( ) 0 , 1 , ( ) 0 , 1jif X h X j m g X i l     由于      ˆ, 0 ( ) , ,H Z Y Z F Y Z Y B X    如果 是以上问题的最优解，所有起作用约束的梯度 线性无关 ，那么一定存在 满足     m i n s . t . 0 , 1if Y g Y i l  ˆY     ˆ12ˆ ˆ ˆ, , , lg Y g Y g Y  ˆ0 , 1iw i l     ˆ1ˆ ˆliiif Y g Y w  问题 ： 1）如何用原问题的 表示以 上含有未知函数梯度的等式。 2）假设条件能否保证上述梯度的线性无关性。 的 KT条件 ( ) , ( ) , ( )jif X h X g X            ,TTiiiF Y f Z Y f Z YfYY Z YF Y g Z Y g Z YgYY Z Y            问题 1）的解决途径之一        ( ) , , ( ) ,iif Y f F Y Y g Y g F Y Y问题 1）的解决途径之二      , 0T T TF Y H Z Y H Z YY Z Y          1,T T TF Y H Z Y H Z YY Y Z          ˆ, 0 ( ) , ,H Z Y Z F Y Z Y B X    例如，线性函数  ,H Z Y A X b B Z N Y b       , ,TT TTH Z Y H Z YNBYZ  T TTFY NBY    ˆ1ˆ ˆliiif Y g Y w  问题 1）的解决途径之三 将前面求出的梯度代入           1ˆ1ˆ1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,ˆ ˆ ˆ ˆ,TTliiiliiiH Z Y H Z Y f Z Y g Z YwY Z Z Zf Z Y g Z YwYY                              1ˆ1ˆ1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,ˆ ˆ ˆ ˆ,TTliiiliiiH Z Y H Z Y f Z Y g Z YwY Z Z Zf Z Y g Z YwYY                    记为 1m           1ˆ1ˆ1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,TliiiTliiiH Z Y f Z Y g Z YwZZZH Z Y f Z Y g Z YwY Y Y                               1ˆ1ˆ1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,TliiiTliiiH Z Y f Z Y g Z YwZZZH Z Y f Z Y g Z YwY Y Y                               ˆ11ˆ11ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,mljijijimljijijif Z Y h Z Y g Z YwZ Z Zf Z Y h Z Y g Z YwY Y Y                  ˆ11ˆ11ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,mljijijimljijijif Z Y h Z Y g Z YwZ Z Zf Z Y h Z Y g Z YwY Y Y        ZXY     ˆ11ˆ ˆ ˆmlj j i ijif X h X g X w       ˆ1ˆ ˆliiif Y g Y w  问题 1）的结论      ˆ11ˆ ˆ ˆmlj j i ijif X h。