一、“凑”微分法

一、“凑”微分法内容摘要：

)4()2()2()2()(2 2222pqpxpxdBpCqpxxqpxxdB22222l n( ) a r c ta n .2 44B C B p x px px q Cq p q p    In fact, Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 2 ( 2 , 3 ,( 4 ) )() n nB x C dxx p x q 222() ()2 ( ) 2 ( )nnB d x p x q B p d xCx p x q x p x q     211 ( ) ,2 ( 1 ) ( ) 2 nnB B pCIn x px q      Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 422[ ( ) ( ) ]24() nn ndxppxqdxIx p x q   12 2 2 2 11 1 1()2 ( 1 ) ( )n nI t da a n t a   natdttn)()2)(1(22 （分部积分法） 22() ndtta 2 2 22 2 21() nt a t dta t a12 2 2 2 1 2 2 111 [ ] ,2 ( 1 ) ( ) ( )n nnt d tIa a n t a t a     22,(4 )2ppt x a q   令 Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 12 2 2 1 223 .2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )n nntnIIa n t a a n   因此, nI这是关于 的递推公式. 此时,11221 a r c ta n ,dt tICt a a a  1 2 3 1 .nnI I I I I    由 222 2 2 311 a r c ta n ,22ttICa t a a a   332 2 2 2 4 2 2 5 ,1 3 3 a r c t a n4 ( ) 8 8t t ta t a a t a a a     Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 1 ( 1 ) 1nI n I n n只是针对 中的 而言, 应与题设中 区别.注 2. 有理函数总存在初等函数的原函数 . 注 1. 例 16. 2222( 1 ) ( 1 )x dxxx求 .解： 2 2 2121 1 ( 1 )d x x xd x d xx x x      原式222 2 2 21 ( 1 ) ( 1 )1 2 1 1 ( 1 )d x d x d x d xx x x x         2211l n | 1 | l n( 1 ) a r c ta n .21x x x Cx      Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 例 17. 求 2 .1( 1 ) dxxx 21( 1 ) dxxx  21 1 1( 1 ) 1dxx x x  21 1 1( 1 ) 1dx dx dxx x x    .1l n | | l n | ( 1 ) |1x x Cx    解： Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 例 18. 求 解： .)1)(21( 1 2  dxxxdxxxdxx   2151522154  dxxx )1)(21( 1 2dxxdxxxx   22 1 1511 251)21l n (52.ar c t an51)1l n (51)21l n (52 2 Cxxx Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 五、其他类型的不定积分 （一）简单无理函数的不定积分 原则： 简单无理函数 变量替换 有理函数 符号 R (u, v) 表示以 u 和 v 为 变量的有理函数 . 1 . ( , ) 2 0 .n a x bR x d x n a d b cc x d    型积分，其中 且Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 于是则设 ,)( ),( , dttdxtcta bdtxtdcx bax nnn   ( , )n a x bR x d xc x d ( ( ) , ) ( ) .R t t t dt 积分 有理化 ( ) ( )tt 由 于 与 皆 为 有 理 函 数 ， 故 求 这 个 有 理 函 数 的 不 定积 分 即 可 .12( , , , , )knnna x b a x b a x bR x d xc x d c x d c x d    推广求 型的积分，12 ( , , , )n ka x b t n n n nc x d 可 令 其 中 为 的 最 小 公 倍 数 使 其 有有理化求解 . Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 例 1. 77 8 1 514.xx dxxx解： 1 4 1 314 , , 1 4 ,x t x t d x t d t  设 则 有：1 11 4 1 4 2 77 21 3 1 38 15 1 6 1 51 4 1 47 14( ) ( )1 4 1 4( ) ( )t t t tt d t t d ttttt原 式 =54 3 211 4 1 4 ( 1 ) .1t d t t t t t d tt      Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 例 2. 11 .1x dxxx解： 22 2 21 1 4 , , , 1 1 ( 1 )x t tt x d x d tx t t    设 则 有222 2 2 2 214 = 41 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t t tt d t d tt t t t      原 式 1 1dt dt dtt t t       Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 例 3. 23 ( 1 ) ( 1 )dxxx解： 311 = .11 x dxxx 原 式323 3 3 3 21 1 2 6 , 1 , , 1 1 1 ( 1 )x t tt x d x d tx t t t         设则323 3 2 31 6 3 2 ( 1 ) 1tt t d t d tt t t     原 式2211dt t dtt t t  Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 2221 ( 1 ) ( 2 1 )l n | 1 | 32 1 ( 2 1 ) 3d t t d ttt t t         21 2 1l n | 1 | l n ( 1 ) 3 a r c ta n .2 3tt t t C        31( ) .1xtx例 4. 21 2 3x dxxx解： 22221 ( 1 2 3 ) 163 411 2 33 ( )331 1 3 1l n 1 2 3 a r c s in .32 33d x x d xxxxxx x C       Yunnan University 167。 2. 不定积分的计算 222 . ( , ) 0 , 4 0 (R x a x b x c d x a b a c     型积分，其中 无重根) .分以下情况考虑： 2 (0( 1 ) )M x N d x aa x b x c 形如 的积分222()2M x N M d a x b x cdxaa x b x c a x b x c     2( ) ,2b M d xNa a x b x c 2222 .( ) ( )24d x d xa x b x c b ba x caa   而Yunnan University 167。