1675曲线拟合的最小二乘法

1675曲线拟合的最小二乘法内容摘要：

最小 ， 这与前面讲的极值问题完全一样 ， 系数 同样满足法方程 ， 只是这里 求解法方程组就可得到 ，从而得到， 称为函数 的最小二 乘拟合。 20 1 1 21( , , , ) [ ( , , , ) ]mn i i n i i liiF a a a y S x x x01, , , na a a1 2 1 21( , ) ( , , , ) ( , , , ) .mk j i k i i li j i i liix x x x x x     01, , , na a a12( , , , )nlS x x x 12( , , , )lf x x x17 167。 6 近似最佳一致逼近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项 式 （ 伯恩斯坦多项式 ） • 一 、 截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近 似最佳一致逼近多项式。 如果 ，按 展成广义富 利叶级数，由正交多项式展开公式（在 满 足一定条件下可一致收敛） ( ) [ 1 , 1 ]f x C { ( )}kTx()fx00( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )k k k kkkf x a g x f x C T x0( , ) ( )nnkkkB f x f P xn ( ) (1 )k n kk nP x x xk  0 ( ) 1nkkPx18 可得 ～ 此式称为函数在 [1,1]上的切比雪夫级数。 由 得到 这里 **01( ) .2 kkkC C T x ()fx1210,( ) ( ), 0。 21, 0 .nmnmT x T x d xnmxnm   1*21( ) ( )2 d ( 0 , 1 , ) .1kkf x T xC x kx ( ) c o s ( a r c c o s ) , 1 .kT x k x x19 若令 ，则 ～ 就是 的富利叶级数，其中 根据富利叶级数理论可知 ， 只要 在 [1,1]上 分段连续 ， 则 的切比雪夫级数一致收敛于 ， 从而 c os , 0x     ()fx * *01()2 kkkC C T x (c os )f *02 ( c os ) c os d ( 0 , 1 , ) ,kC f k k   ()fx()fx()fx**01( ) ( ) ,2 kkkCf x C T x 20 取它的部分和 其误差为 由于 有 n+2个轮流为‘正、负’的偏差点 ，所以 近似 地有 n+2个偏差点，由切比雪夫定理， 可作 为 在 [1,1]上的近似最佳一致逼近多项式， 实际计算表明它与最佳一致逼近多项式 非 常接近，而计算较方便。 *** 01( ) ( ) ,2nn k kkCC x C T x ** 11( ) ( ) ( ) .n n nf x C x C T x1nTc os , ( 0 , 1 , , 1 )1k kx k nn    *( ) ( )nf x C x*()nCx()fx*()nPx21 例 : 求 在 [1,1]上的切比雪夫展开。 解 由富利叶级数系数公式得 它可用后面介绍的数值积分方法计算，得到 由 及 的公式得到 () xf x e* c os02 c os dkC e k   * * *0 1 2* * *3 4 52 . 5 3 2 1 3 1 7 6 , 1 . 1 3 0 3 1 8 2 1 , 0 . 2 7 1 4 9 5 3 4 ,0 . 0 4 4 3 3 6 8 5 , 0 . 0 0 5 4 7 4 2 4 , 0 . 0 0 0 5 4 2 9 3 .C C CC C C    ***01( ) ( ) ,2nn k kkCC x C T x  ()kTx*1* 2 33**13( ) 1 .2 6 6 1 .1 3 0 ,( ) 0 .9 9 4 5 7 1 0 .9 9 7 3 0 8 0 .5 4 2 9 9 1 0 .1 7 7 3 4 7 ,( ) 0 .3 2 , ( ) 0 .0 0 6 0 7 .xxC x xC x x x xe C x e C x      22 当区间为 时可用变量置换 求得近似最佳一致逼近 . 例如，求 在 [0,1]上的近似最 佳一致逼近一次式， 可令 对 按切比雪夫系数求得 ( 1 1 )22b a b ax t t    [ , ]ab( ) a r c tgf x x1 ,2tx  11( ) ( ) a r c tg , 1 1.22ttF t f t    00102 c os 1a r c t g( ) d ,22 c os 1a r c t g( ) c os d .2aa23 于是 事实上 是奇函数 ， 当区间为 [1,1]时 ， 它的切比雪夫展开也是奇函数。