62一元方程的不动点迭代法

62一元方程的不动点迭代法内容摘要：

** )( xxx  收敛的。 ）是局部，则称迭代法（且收敛到）生成的序列满足），有迭代法（，（使得对任何初值),(,0],[),(***0***xxsxxsxxxxsk第六章非线性方程组的迭代解法 定理 的某个邻域在的一个不动点，是设 ** )(39。 )( xxxx ）局部收敛。 则迭代法（上连续，并且有 ,1)(39。 * x证 所以存在处连续，且在因为 ,1)(39。 )(39。 ** xxx 并且有在其上的一个闭邻域 ,1)(39。 ],[ ***  Lxxxx ,)()()( **   xxLxxxx 收敛。 定理得证。 ）迭代法（，对任意根据定理。 ，有即对一切],[],[],[**0****xxxxxxxxx上述定理称为局部收敛定理，它给出了局部收敛的一个 第六章非线性方程组的迭代解法 充分条件。 当迭代收敛时，收敛的快慢用下述收敛阶段来衡量。  。 若存记误差收敛到设序列 ** , xxexx kkk 定义 ，使得和在实数 01  cpcee pkkk 1lim （ ）  方收敛。 时，称为平当时，称为超线性收敛。 敛。 当时，称为线性收阶收敛的，当是则称序列211ppppx k阶无穷小量的是时，）表明，当式（ peek kk 。 ）中的常数满足（是线性收敛的，越大，收敛越快。 如果因此，阶数  cp则满足即中，还有如果在定理 ,1)(39。 0)(39。 ,0)(39。 ***  xxx 第六章非线性方程组的迭代解法 对 ，必有 ,k=1,2,… ，而且 *0 xx  *xxk kkkkk exxxxe )()()( 39。 **11   其中在 与 之间。 于是 k *x。 0)()(limlim *39。 39。 1 xee kkkkk 从而，在这种情况下， {x k }是线性收敛的。 可见，提高收敛阶的一个途径是选择迭代函数 ，使它足。 下面给出整数阶超线形收敛的一个充分条件。 )(x 0)( *39。 x 定理 设 是 的一个不动点，若有正整数 p 2,使得 在 的领域上连续，并且满足 *x )(x)(xp *x,0*)(,0)()()( )(*)1(*39。 39。 *39。   xxxx pp  第六章非线性方程组的迭代解法 则由迭代法生成的序列在的领域是 p阶收敛的，且有 !)( *)(1l i mpxee pkkk证 因 ，由定理 ()是局部收敛的。 取充分接近 的 , 设 有 ， k=1,2,…。 由 Taylor展开式有 0)( *39。 x*x0x *0 xx  *xxk ,)(!)()()!1()())(()()(*)(1**1**39。 *1pkkppkpkkkxxpxxpxxxxxxx 其中 在 与 之间。 由 ()有 kxk*x第六章非线性方程组的迭代解法 ).(!( *1))(*1 xxpxx kkpk  。