41gauss消去法

41gauss消去法内容摘要：

iiiii aaaaaaaaaD ,0 )(22)(12)(11)( mmmmAAAA 用归纳法证充分性。 k=1时，命题显然成立。 设命题对 m1成立。 现设 由归纳假设有 Gauss 消去法可进行第 m1步，矩阵 A变换为 ,2,1,0d e t miAD ii  .1,2,1,0)(  mia iii 第四章方程组的直接解法 其中 是对角元素为 的上三角阵。 因 是通过消元过程由 A逐步经初等变换得到的， A的 m 阶顺序主子式等于 的 m 阶顺序主子式，即 由 可推出 ，定理得证。 )(11mA )()1(1,1)2(22)1(11 , mmmmmm aaaa )(mA)(11mA)()1(1,1)2(22)1(11 , mmmmmm aaaa 0mD 0)( mmma 定理 在方程组 Ax=b中， A非奇异，则当 A的所有顺序主子式均不为零时，可用 Gauss消去法求解出方程组的解。 特别地，若 A为对称正定矩阵，则由对称正定矩阵的性质可知，对原方程组不必作任何处理，可直接 Gauss消去法求解方程组。 下面将消元过程用矩阵运算表示。 对第 k步，利用（ ）给出的乘数 ，记 ，又记 为第 k 个分量为 1的单位向量，令 Tnkkkk lll ),0,0( ,1)(   Tke )0,0,1,0,0( ikl,1111,1)()(nkkkTkkkllelIL() 第四章方程组的直接解法 不难验证 即 IelIelIelIelI TkkTkkTkkTkk  ))(())(( )()()()(Tkkk elIL )(1  利用矩阵（ ），第 k步消元过程相当于 这样经过 n1步消元过程得到 ,)()1(121)()1(121nnnnnnbbLLLAALLL).,(),( )1()1()()(  kkkkk bAbAL这里， 是上三角阵。 记 ，又记 )(nA )( nAU ,1111)(1,213231211121nnnnnnllllllLLLL第四章方程组的直接解法 这种矩阵称为单位下三角阵。 L的对角线以下各元素就是各步消元过程的乘数。 最后我们得到 A=LU （ ） 称该式为 A的 LU分解。 定理 矩阵 ，若其顺序主子式 皆非零，则存在唯一的单位下三角阵 L和上三角阵 U，使 A=LU。 nnRA  ),2,1( niDi 其中， 都是单位下三角阵， 都是上三角阵。 因 A非奇异， 则 都可逆。 A左乘 ，右乘 即得 因 仍为上三角阵， 也是上三角阵，同理是单位下三角阵，所 以只能有 即。 定理得证 证 以上的分析已证明了 A可作 LU分解，下面证明分解的唯一性。 设 A有两个分解式 ,~~ ULLUA ~~ , UULL~,LL ~,UU~1U ~1UU,~1~ 1 ILLUU  .~1~ 1 LLUU  1L ~1U~~ ., LLUU 第四章方程组的直接解法 分解式（ ）也称为 Doolittle分解。 由（ ）式可求出 A的行列式，即 若将上三角 U写成 ，其中 D是对角阵， 是单位上三角阵，则有 称该式为 A的 LDU分解，显然，这种分解具有唯一性。 .d e t )()2(22)1(11 nnnaaaA ~UDU ~ULDA ~U（ ） 主元素消去法 在以上的 Gauss消去法中，消元过程能进行的条件是主元素。 例如，若 ，消去过程的第 1步就不能进行。 有时虽然 但是 很小，这时计算过程的舍入误差会导致消去法数值不稳定，以致结果不可靠。 ,1,0)(  ia iii 1,2 n 011a,0)( iiia )(iiia例 用三位十进制浮点运算求解  .,21215xxxx第四章方程组的直接解法 解 这个方程组的准确解显然应接近 .但是系数 是 个小主元，如果用 Gauss消去法求解，则有 T),( 11a.,5132323)2(235122122)2(225112121。